Теорема о трех перпендикулярах

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Теорема о трех перпендикулярах

Содержание

2. Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на
3. Теорема обратная теореме о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,
4. ЗАДАЧА. Отрезок АК перпендикулярен плоскости ΔАВС и КВ ⊥ ВС. Докажите, что ΔАВС - прямоугольный. А
5. Изобразите отрезок, длина которого равна расстоянию от т. М до выделенной прямой. Ответ обоснуйте. М D
6. Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте. а в D А С В F ABCD
7. К А В С H Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте. BM и CF
8. К М С А В ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости правильного ΔАВС, со стороной 8√3. Найдите
9. ЗАДАЧА. К центру квадрата АВСD восстановлен перпенди-куляр ОК, равный 5. Найдите расстояние от точки К до
10. ЗАДАЧА. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости ΔАВС, где ∠С = 90°, АВ = 17, АС = 8.
11. ЗАДАЧА. В ΔАВС, АС = СВ = 10, ∠А = 30°,ВК - перпендикуляр к плоскости треугольника
12. ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°. Точка М удалена от плоскости
13. ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°. Точка М удалена от плоскости
14. ЗАДАЧА. Отрезок СН перпендикулярен плоскости ΔАВС, где, АВ = 21, АС = 10, ВС = 17.
15. По известным сторонам треугольника найдите высоту. а с в 10 17 21
16. ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости ΔАВС, где, АВ = 20, АС = 15, ВС = 25.
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

н
а
к
л
о
н
н
а
я

п
р
о
е
к
ц
я

прямая, проведенная через основание наклонной

АС ⊥ α

BС ⊥ m

АB ⊥ m по ТТП

Два перпендикуляра есть устанавливаем третий

1) Найти перпендикуляр к плоскости

Слайд 3

Теорема обратная теореме о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

н
а
к
л
о
н
н
а
я

п
р
о
е
к
ц
я

прямая, проведенная через основание наклонной

АС ⊥ α

АB ⊥ m

BС ⊥ m по ™ обратной ТТП

Два перпендикуляра есть устанавливаем третий

1) Найти перпендикуляр к плоскости

Слайд 4

ЗАДАЧА. Отрезок АК перпендикулярен плоскости ΔАВС и КВ ⊥ ВС. Докажите,

что ΔАВС - прямоугольный.

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

п р о е к ц и я

н а к л о н н а я

АК ⊥(АВС) по …

КВ ⊥ВС по …

Вывод!

АВ ⊥ВС по т. обр. ТТП

ΔАВС – прямоугольный, ч.т.д.

прямая, …

ТТП

обр ТТП

Слайд 5

Изобразите отрезок, длина которого равна расстоянию от т. М до выделенной

прямой. Ответ обоснуйте.

Читаем чертеж!

Анализируем дано!

Строим расстояние!

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

прямая, …

СМ ⊥(АВС) по …

СВ ⊥АВ по …

Делаем вывод!

МВ ⊥АВ по ТТП

ТТП

обр ТТП

н
а
к
л
о
н
н
а
я

п р о е к ц и я

МВ – искомое расстояние

Слайд 6

Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте.
а
в
D
А
С
В
F
ABCD – прямоугольник, FB

⊥ (АВС).

ABCD – ромб, FB ⊥ (АВС).

ϕ ≠ 90°

ϕ = 90°

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

н
а
к
л
о
н
н
а
я

ОВ - проекция

Прямые а и в не перпендикулярны

прямая, …

ТТП

обр ТТП

Слайд 7

К
А
В
С
H
Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте.
BM и CF –

медианы,
AH ⊥ (АВС).

п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р

н
а
к
л
о
н
н
а
я

прямая, …

п р о е к ц и я

Прямые а и в не перпендикулярны

BM и CF – высоты,
AH ⊥ (АВС).

АК ⊥СВ
по …

НК ⊥СВ по ТТП

Вывод!

АН ⊥(АВС)
по …

ϕ ≠ 90°

ТТП

обр ТТП

Слайд 8

К
М
С
А
В
ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости правильного ΔАВС, со стороной 8√3. Найдите

расстояние от точки М до прямой АВ, если МС = 9.

МК ⊥АВ по построению

СК ⊥АВ по т. обр. ТТП

Вывод!

СМ ⊥(АВС) по …

т.к. ΔАВС – правиль- ный, то СК = …

из ΔМСК (∠С = 90°) по т. Пифагора

СМ = 9 = 3 ⋅ 3
СК = 12 = 3 ⋅ 4
МК = 3 ⋅ 5 = 15

ТТП

обр ТТП

Слайд 9

ЗАДАЧА. К центру квадрата АВСD восстановлен перпенди-куляр ОК, равный 5. Найдите

расстояние от точки К до стороны квадрата, если она равна 24.

МК ⊥АВ по построению

ОК ⊥(АВС) по …

ОМ ⊥АВ по т. обр. ТТП

Вывод!

Слайд 10

ЗАДАЧА. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости ΔАВС, где ∠С = 90°, АВ

= 17, АС = 8. Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если МВ = 20.

Дано:

Найти:

ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 17,
АС = 8, ВМ ⊥(АВС).

Расстояние от т. М до АС.

Решение:

МК ⊥АС по построению

ВМ ⊥(АВС) по …

НО ВС ⊥АС, что …

Вывод!

ВК ⊥АС по т. обр. ТТП

⇒ т.К совпадает с т. С и искомое расстояние МС

ЗАКОНЧИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Слайд 11

ЗАДАЧА. В ΔАВС, АС = СВ = 10, ∠А = 30°,ВК

- перпендикуляр к плоскости треугольника и равен 5√6. Найдите расстоя- ние от точки К до АС.

30°

Куда проектируется основание перпендикуляра из т. К на прямую АС?

120°

КМ ⊥АС по …

ВК ⊥(АВС) по …

Вывод!

ВМ ⊥АС по т. обр. ТТП

Слайд 12

ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°.

Точка М удалена от плоскости трапеции на расстоя- ние равное 2√3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции.

⇒ т.М проектируется в центр вписанной в трапецию окружности

ОМ ⊥АD по …

ОК ⊥(АВС) по …

Вывод!

ВМ ⊥АС по ТТП

OM = 2

KM = 4

Слайд 13