Предел функции. Непрерывность функций одной переменной

имеющих предел
Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента к бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

= f(x)

0

r

r

Пусть функция f(x) определена в

Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если
для любой последовательности значений её аргумента

сходящейся к точке а

соответствующая последовательность

значений функции {f(хn)} сходится к А

В этом случае пишут

+ δ

a - δ

Пусть функция f(x) определена в

⎢f(x) – A ⎢< ε.

Геометрический аналог определения:

ТЕОРЕМА 1.

Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.

то
в которой функция ограничена.
Доказательство.

(По опред. предела)

A - 1 < f(x) < A + 1.

Доказательство.

(По опред. предела)

Т.е. f(x) ограничена на множестве

Т.е. f(x) > A/2 > 0.

ТЕОРЕМА 3.

СЛЕДСТВИЕ.

(Об ограниченности функции, имеющей предел.)

(О сохранении функцией знака предела.)

предела по Гейне.
Доказательство. Воспользуемся определением предела по Гейне.

Следовательно, по соответствующей теореме для ЧП, А ≥ 0.

ТЕОРЕМА 5. (О двух милиционерах.)

Следствие.

Гейне.

СЛЕДСТВИЕ из теорем 4, 6.

+ ε

A2 - ε

a + δ

y = f(x)

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0: ∀х ∈ (а – δ, a) →

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0: ∀х ∈ (а, a + δ) →

Число А1 называют пределом слева
функции f(x) в точке а и обозначают

⎢f(x) – A1 ⎢< ε.

Число А2 называют пределом справа
функции f(x) в точке а и обозначают

⎢f(x) – A2 ⎢< ε.

и справа и

- ε

δ

δ

x

0

0

A

A+ ε

A- ε

x

y

δ

большой при х → а, если

В этом случае пишут

a

0

- ε

ε

y

x

ЗАМЕЧАНИЕ.

Из определения предела функции в точке а и определения
бесконечно малой при х → а функции следует, что

Аналогично определяются

а также бесконечно большие при стремлении аргумента к
а + 0, а - 0, + ∞, - ∞, ∞ функции.

y = α(x)

малых при х→ а функций есть бесконечно малая при х→ а функция.
Произведение бесконечно малой при х→ а функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая при х→ а функция.
Пусть α(х) ≠ 0 в
α(х) – бесконечно малая при х → а функция тогда и только тогда, когда 1/α(х) – бесконечно большая при х → а.

знака;
+ ∞ – бесконечно большая положительная функция;
– ∞ – бесконечно большая отрицательная функция;
0 – бесконечно малая функция;
1 – функция, предел которой равен 1.

?