Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть
Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при и (n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то
Теорема о промежуточной функции
Пусть в некоторой окрестности точки а функции f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то есть
(1) и (2), тогда функция f(x) имеет тот же предел, то есть (3).
Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах, признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах.
1. Найти
Решение. Так как , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к числу 2*4+3=11. Следовательно

таком случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получим
3. Найти
Решение. Числитель и знаменатель при стремятся к нулю. Принято говорить,
что получается неопределенность . Имеем .
Если , то . Но при дробь . Итак
4. Найти
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида . Разложим на множители
числитель и знаменатель дроби.

как
числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина.
6. Найти
Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть сумму .Получим
7. Найти

возрастают при . В таком случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и
знаменатель дроби на старшую степень х, то есть получим
9. Найти
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть получим
10. Найти