Числовые последовательности и числовые множества и их свойства. Фундаментальная последовательность. (Семинар 2)

номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство
Теорема 1
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть
Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)
Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.
Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.
Критерий Коши.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Примеры с решениями
1.Доказать, что последовательность сходится.
Доказательство. Оценим модуль разности

такое, что для любого верно неравенство . Значит, если , а p – произвольное натуральное число, то .
Таким образом, условие Коши выполнено, и поэтому данная последовательность сходится.
2. Доказать, что последовательность расходится
Доказательство. Оценим модуль разности
Если здесь взять p=n , то получим
Отсюда видно, что данная последовательность удовлетворяет отрицанию условия Коши. А именно, при для любого натурального N возьмем n=N, m=2N, тогда будем иметь
Значит, данная последовательность не имеет конечного предела, то есть расходится.
3.Доказать, что последовательность имеет предел и найти его.
Доказательство. Составим отношение .
Поскольку (n+1)/(2n+3)<1/2 для любого . Значит последовательность убывающая. Очевидно, для любого выполнены

она сходится.
Обозначим . Последовательность является подпоследовательностью
данной последовательности, поэтому . Переходя теперь к пределу в
равенстве , получаем откуда
4. Пусть a>1/ . Доказать, что
Доказательство. Поскольку a-1>0 имеем для
всех Отсюда следует, что
Так как
5. Показать, что при последовательность имеет своим пределом число 2.
Решение. Здесь n-й элемент последовательности есть . Следовательно,
Зададим заранее положительное число .Выберем n настолько большим, что будет выполнено неравенство . Для этого достаточно принять . При таком выборе n получим . Значит .

Здесь . Определим, при каком значении n выполняется неравенство ; так как
Итак, если , то , то есть .
Полагая , заключаем, что неравенство выполняется при n>12 (например, n=13). Аналогичным образом, неравенство выполняется при n>124,5 (например, при n=125), а неравенство при n>1249,5 (например, при n=1250).
7.Найти предел
Решение. Выражение 1+2+3+…+n – сумма элементов арифметической прогрессии с разностью d=1. Сумму элементов вычисляем по формуле . В
нашем случае . Получаем следующее выражение для исходного предела
8.Найти предел
Решение. Преобразуем выражение предела умножая и деля числитель и знаменатель на сопряженные выражения

.