Векторная алгебра

Лекция 4

Векторная алгебра

2. Базис и координаты вектора.

3.

Вектор – направленный отрезок;
его характеристики – длина и

2. Умножение вектора на число.

Свойства линейных операций над векторами.

I. Сложение.

II. Умножение

Линейная зависимость (ЛЗ) векторов.

Линейной комбинацией (ЛК) векторов называется
сумма

Базисом множества векторов на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора

Базисом множества векторов в пространстве называются любые три некомпланарных вектора.

Можно использовать такую запись:

Следствие.

Два вектора, заданные в одном и том же базисе

I.Сложение.

то

Доказательство.

II. Умножение вектора на число.

то

называется “величина” направленного отрезка
(длина отрезка со знаком (см. рис.)).

Геометрический смысл декартовых координат

Вывод.

Декартовы координаты вектора совпадают
с его проекциями на соответствующие
координатные оси.

Пусть

-основное тождество.

Вывод.

Декартовы координаты вектора позволяют найти его
длину и направление,

называется число

Алгебраические свойства скалярного произведения.

Геометрические и механические свойства скалярного произведения .

-длина вектора.

-угол между векторами.

-проекция

Формула для вычисления скалярного произведения
векторов, заданных декартовыми координатами.

то

Тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко

Замечание.

Перестановка местами двух соседних
векторов тройки меняет её ориентацию.

Циклическая перестановка

Обозначение.

Пример.

Алгебраические свойства векторного произведения.

Геометрические и механические свойства векторного произведения.

площадь параллелограмма …

критерий коллинеарности

связь

Вычисление векторного произведения в декартовых координатах.

то

называется число

- объем параллелепипеда …,

- тройка векторов компланарна,

- тройка левая.

Доказательство.

Следствие.

Необходимым и достаточным условием компланарности
трёх векторов является равенство нулю их