Умножение матриц на число

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Умножение матриц на число

Содержание

2. Сложение и вычитание матриц: Определение: Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы
3. Умножение матриц: Определение: Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы
4. Транспонированная матрица: Определение: Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы
5. Определитель матрицы: Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы,
6. Свойства определителя матрицы: Если какую либо строку определителя умножить на число, то в результате весь определитель
7. Свойства определителя матрицы: Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный
8. Свойства определителя матрицы: Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. Определитель произведения матриц
9. Методы вычисления определителя матрицы: 1) Правило треугольника для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Для матрицы 3×3
10. 2) Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Справа от определителя дописывают первых два столбца
11. Вычисление определителя матрицы произвольного размера 3) Разложение определителя по строке или столбцу: Определитель матрицы равен сумме
12. Обратная матрица: Определение: Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной
14. Скачать презентацию

Слайд 2

Сложение и вычитание матриц:
Определение:
Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы

которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Определение:
Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij - bij
Свойства сложения и вычитания матриц
Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
A + Θ = Θ + A = A, где Θ - нулевая матрица
A - A = Θ
Коммутативность: A + B = B + A

Слайд 3

Умножение матриц:
Определение:
Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том

столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj
Замечание.
Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Свойства умножения матриц
(A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;
(z · A) · B= z · (A · B), где z - число;
A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;
En · Anm = Anm · Em= Anm - умножение на единичную матрицу
A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.
Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Слайд 4

Транспонированная матрица:
Определение:
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки

и столбцы меняются местами:
aTij = aji
Свойства транспонированной матрицы
Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица AT имеет размер m×n;
(AT)T = A;
(k · A)T = k · AT;
(A + B)T = AT + BT;
(A · B)T = BT · AT.

Слайд 5

Определитель матрицы:
Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной

матрицы, применяемая при решении многих задач.
Обозначение
Определитель матрицы A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).
Свойства определителя матрицы:
При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:
det(A) = det(AT)
Следствие. Все, что справедливо для строк определителя, справедливо и для его столбцов
Если в определителе поменять местами две строки, то его знак изменится на противоположный
Следствие. Определитель, содержащий две равные строки, равен нулю

Слайд 6

Свойства определителя матрицы:
Если какую либо строку определителя умножить на число,

то в результате весь определитель умножится на это число
Следствие. Определитель, у которого существуют две пропорциональные строки, равен нулю.

Слайд 7

Свойства определителя матрицы:
Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен

сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
Следствие. 1)Если к некоторой строке определителя прибавить любую другую, умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
2) Если некоторая строка определителя представляет из себя линейную комбинацию каких-то других строк, то такой определитель равен нулю.

Слайд 8

Свойства определителя матрицы:
Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его

диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:
det(A·B) = det(A)·det(B)
Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
B = k·A => det(B) = kn·det(A)
где A матрица n×n, k - число.
Определитель обратной матрицы:
det(A-1) = det(A)-1

Слайд 9

Методы вычисления определителя матрицы:
1) Правило треугольника для вычисления определителя матрицы третьего

порядка:
Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

Слайд 10

2) Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы третьего порядка:
Справа от определителя

дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Слайд 11

Вычисление определителя матрицы произвольного размера
3) Разложение определителя по строке или столбцу:
Определитель

матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
- разложение по i-той строке
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
- разложение по j-тому столбцу
При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.
где – алгебраическое дополнение элемента;
- минор элемента – определитель порядка (n-1), полученный из определителя detA вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент

Слайд 12

Обратная матрица:
Определение:
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A

равно единичной матрице E:
A·A-1 = A-1·A = E
Замечание.
Обратная матрица существует только для квадратных, определитель которых не равен нулю.
Свойства обратной матрицы:
det(A-1) = 1/det(A)
(A·B)-1 = A-1·B-1
(A-1)T = (AT)-1
(kA)-1 = A-1/k
(A-1)-1 = A

Умножение матриц на число

Содержание

Сложение и вычитание матриц:Определение: Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы

Умножение матриц:Определение: Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том

Транспонированная матрица:Определение: Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки

Определитель матрицы: Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной

Свойства определителя матрицы: Если какую либо строку определителя умножить на число,

Свойства определителя матрицы: Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен

Свойства определителя матрицы: Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его

Методы вычисления определителя матрицы:1) Правило треугольника для вычисления определителя матрицы третьего

2) Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Справа от определителя

Вычисление определителя матрицы произвольного размера3) Разложение определителя по строке или столбцу: Определитель

Обратная матрица:Определение:Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A

Похожие презентации