Теория вероятностей и математическая статистика

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

2. Схема курса Введение. Определение вероятности. Классическая теория вероятностей: теоремы сложения, умножения, полная вероятность. Схема Бернулли. Случайные
3. Ранние работы - XVII век. Блез Паскаль и Пьер Ферма. Вероятностные закономерности возникающие при бросании костей.
4. Основные понятия. Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием.
5. Attention! Закономерное событие – событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные условия. Случайные - события,
6. Статистическая устойчивость. Пусть эксперимент провели N раз, случайное событие А осуществилось N(А) раз. Определения: N(А) -
7. (Выпадение орла во всех случаях близко к ½.) Статистическое определение вероятности: если вероятность события А равна
8. Впервые такую устойчивость обнаружили в демографии. Например, установлено, что вероятность рождения мальчика равна а девочки −
9. Формализация эксперимента 1. описание множества элементарных исходов 2. задание событий на этом множестве 3. расчет вероятности
10. Основные понятия Одним из основных понятий теории вероятностей являются множество элементарных исходов и события как некоторые
11. Все события могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий Задача. Подбросили игральную кость. Пусть Х
12. Определение1. Два события совместны, если соответствующие мн-ва имеют общие элементы, иначе – несовместны. Определение2. События А
13. Определение вероятности р(А) – числовая ф-ция, определенная для любого события А, удовлетворяющая трем аксиомам:
14. Алгебраические операции над событиями Операция сложения, произведения, взятие противоположного Пример. Из колоды в 36 карт достают
15. p(А + В) = p(A) + p(B) для несовместных событий p(А + В) = p(A) +
16. Сложные события. Задача. Два стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в
17. 1). Формулировки «хотя бы один (или n)» - ≥ H = {при одном залпе в мишень
18. Классическое определение вероятности Если число исходов конечно и любой исход равновозможен, то вероятность события А может
19. Элементы комбинаторики Неупорядоченный выбор без повторений (число сочетаний из n по m) Задача1.В лотерее разыгрываются 10
20. Задача 2. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта на удачу извлекается 10
21. Вероятность выйграть в лотерею «6 из 36» А ={отгадать все 6 цифр}; В={отгадать 5 цифр} и
22. Задача 4.В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются 2 изделия. Найти вероятность того,
23. Задача 3 (Классическая схема Бернулли предполагает независимость испытаний! Студент знает ответы на 45 из 60 вопросов
24. Задача 5. Из колоды достали 5 карт. Какова вероятность, что в получившемся наборе будет 2 короля
25. Условные вероятности. Независимость событий Определение 1. Условная вероятность события А при условии В равна Определение 2.
26. Задача. Из колоды в 36 карт на удачу извлекается одна карта A={вынутая карта туз}; B={вынутая черной
27. Формула полной вероятности.
28. Задача. Схема дорог. Туристы выбирают путь наудачу. Найти вероятность события А={туристы попадут из пункта В в
29. Задача 1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых. Во второй 20 – из
30. Формула Байеса Задача 1. Туристы выбирают путь наудачу. Найти вероятность, что был выбран второй путь, если
31. Задача 2. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем их
32. Задача 3. Литье в болванках поступает из двух заготовленных цехов: 70% из первого цеха, 30% из
33. Задача 3. В кармане лежат батарейки трех типов. Вероятность того, что батарейка разряжена соответственно равна 0,6;
34. Схема независимых последовательных испытаний
35. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
36. Задача. Вероятность отказа каждого прибора не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. испытано 9
37. Формула Пуассона n ->∞ p ->0 npq ≤ 10 Задача. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый
38. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра npq > 10 Задача. Вероятность рождения мальчика p=0,512. Считая приемлемой локальную
39. Плотность вероятности нормального распределения
40. ,где P(B)=
41. Функция Лапласа
42. Задача. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что
44. Скачать презентацию

Слайд 2

Схема курса
Введение. Определение вероятности.
Классическая теория вероятностей: теоремы сложения, умножения,

полная вероятность. Схема Бернулли.
Случайные величины и их числовые характеристики. Статистическое изучение одномерной выборки

Слайд 3

Ранние работы - XVII век. Блез Паскаль и Пьер Ферма. Вероятностные

закономерности возникающие при бросании костей.

Слайд 4

Основные понятия.
Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в

теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием.
Примеры. Сдача экзамена - это испытание; получение определенной отметки - событие. Выстрел - это испытание; попадание в определенную область мишени - событие. Бросание игрального кубика - это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - событие.

Слайд 5

Attention!
Закономерное событие – событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные

условия.
Случайные - события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда - нет.

Слайд 6

Статистическая устойчивость.
Пусть эксперимент провели N раз, случайное событие А осуществилось N(А)

раз.
Определения: N(А) - частота события. Отношение N(А) / N – относительная частота события

Жорж Бюссон (1707-1788) бросал монету 4040 раз, и “орел” выпал в 2048 случаях.
Карл Пирсон (1857-1936) 12000 раз: орёл выпал 6019 раз. повторил эксперимент 24000 раз, орёл выпал 12012 раз.
N1(А) / N1 =

При достаточно больших N относительная частота
обнаруживает свойством устойчивости

2048 / 4040 ≈ 0, 5069
12012 / 24000 ≈ 0, 5005

N2(А) / N2 =

6019 / 12000 ≈ 0, 5016

N3(А) / N3 =

Слайд 7

(Выпадение орла во всех случаях близко к ½.)
Статистическое определение вероятности: если

вероятность события А равна р, то
При достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Слайд 8

Впервые такую устойчивость обнаружили в демографии.
Например, установлено, что вероятность рождения мальчика

равна а девочки −

0,51,

0,49

Слайд 9

Формализация эксперимента
1. описание множества элементарных исходов
2. задание событий на этом множестве
3.

расчет вероятности событий

Слайд 10

Основные понятия
Одним из основных понятий теории вероятностей являются множество элементарных исходов

и события как некоторые подмножества этого множества.
Выбирается из практических соображений
Примеры.
Вытаскиваем карту из колоды карт – 36 элементарных исходов
Бросаем монетку – два элементарных исхода
Стреляем в мишень :
Событие – попал/не попал – два элементарных исхода
Событие – Число очков (0-10) – 11 элементарных исходов
Введем в мишени систему координат – событие = координата точки попадания –бесконечно много исходов (следует заметить что в последних примерах исходы не равновероятны.)

Слайд 11

Все события могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий
Задача.

Подбросили игральную кость. Пусть Х – число выпавших очков. Описать мн-во элем. исходов и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям:
A = {Х кратно трем}
B = {Х нечетно}
C = {Х > 3}
D = {Х < 7}
E = {X дробно} Е – невозможное событие
F = {0,5 < Х < 1,5}

- элементарный исход(событие)- кол-во выпавших очков

Слайд 12

Определение1. Два события совместны, если соответствующие мн-ва имеют общие элементы, иначе

– несовместны.
Определение2. События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого.
A = {Х кратно трем}
B = {Х нечетно}
C = {Х > 3}
D = {Х < 7}
E = {X дробно} Е – невозможное событие
F = {0,5 < Х < 1,5}

Определение. Событие совпадающее с мн-вом всех элементарных исходов
(включает все элементарные события) называется достоверным

Совместны: Несовместны:

Определение. событие противоположное А

А и В, А и С, А и D, B и C

A и F, C и F

Слайд 13

Определение вероятности
р(А) – числовая ф-ция, определенная для любого события А, удовлетворяющая

трем аксиомам:

Слайд 14

Алгебраические операции над событиями
Операция сложения, произведения, взятие противоположного
Пример. Из колоды в

36 карт достают карту.
События: A = {выпала дама} ; В = {выпала пиковая карта}
(прим. сам прямоугольник – мн-во элем. исходов )

АВ = {пиковая дама}

А+В = {вынутая карта либо дама,
либо пиковой масти}

= {вынутая карта не является дамой}

Слайд 15

p(А + В) = p(A) + p(B) для несовместных событий
p(А +

В) = p(A) + p(B) – p(AB) для совместных(!) событий

p(АВ) = p(A)·p(B) для независимых событий
(чуть забегая p(АВ) ≠ p(A)·p(B) для зависимых событий)

Слайд 16

Сложные события.
Задача. Два стрелка произвели по одному выстрелу по одной и

той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8.
Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет
только один из стрелков.
H= {при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков}
р(H) -?

Пусть A = {попал только первый} p(A) = 0,7
B = {попал только второй} p(B) = 0,8

(!) Событие H – сложное, т.е. наблюдаемое в эксперименте событие
может быть сконструировано через другие (более простые)
наблюдаемые в эксперименте события.

Слайд 17

1). Формулировки «хотя бы один (или n)» - ≥
H = {при

одном залпе в мишень попадет хотя бы один из стрелков}
р(H) -?

= {мишень непоражена = оба стрелка промахнулись}

2). Формулировки «не более одного (или n)» ≤
H = {в мишени не более одного попадания}
р(H) -?

3). р(H) -? H = {мишень поражена}

Слайд 18

Классическое определение вероятности
Если число исходов конечно и любой исход равновозможен, то

вероятность события А может быть определена как отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных исходов:
Пример 1. Вероятность выпадения орла 1/2
Для сравнения. Для статистического определения проводили N испытаний и тоже получили колебания отн.частоты около значения 1/2
Пример 2. Вероятность из колоды в 36 карт вынуть даму.
Пример 3. Вероятность из колоды в 36 карт вынуть пиковую карту.

p(A)=4/36=1/9

p(A)=9/36=1/4

Слайд 19

Элементы комбинаторики
Неупорядоченный выбор без повторений (число сочетаний из n по m)
Задача1.В

лотерее разыгрываются 10 билетов, из которых 5 выигрышных.
Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых билетов все оказались
выигрышными.

Слайд 20

Задача 2. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из

конверта на удачу извлекается 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

Слайд 21

Вероятность выйграть в лотерею «6 из 36» А ={отгадать все 6 цифр};

В={отгадать 5 цифр} и тд

Слайд 22

Задача 4.В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются

2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие.

A = {хотя бы одно бракованное изделие} p(A) -?

A = H1 + H2

H1 = {одно бракованное изделие}
H2 = {два бракованных изделия}

Слайд 23

Задача 3 (Классическая схема Бернулли предполагает независимость испытаний!
Студент знает ответы на

45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент, взявший экзаменационный билет ответит: а)на все три вопроса; б) на два вопроса из трёх; в) только на один вопрос экзаменационного билета.

А = {на все три вопроса};

B = {на два вопроса из трёх}

C = {только на один вопрос экзаменационного билета}

Слайд 24

Задача 5. Из колоды достали 5 карт. Какова вероятность, что в

получившемся наборе будет 2 короля или 4 бубновые карты. H = {2 короля или 4 бубновые карты} p(H)-?

A = {2 короля }

B = {4 бубновые карты}

H = A + B

p(А + В) = p(A) + p(B) – p(AB) для совместных событий

p(А + В) = p(A) + p(B) – p(AB) =32994/376992 ≈ 0,0875

Слайд 25

Условные вероятности. Независимость событий
Определение 1. Условная вероятность события А при условии

В равна
Определение 2. Событие А не зависит от события В, если
p(АВ) = p(A)·p(B) для независимых событий
p(АВ) ≠ p(A)·p(B) для зависимых событий

Слайд 26

Задача. Из колоды в 36 карт на удачу извлекается одна карта

A={вынутая карта туз}; B={вынутая черной масти}; C={вынутая карта картинка}. Установить (не)зависимость
А и С, А и В

1) АС

Для проверки независимости: p(АС) = p(A)·p(С) для независимых A и C
р(А)·p(В)

= {туз} ;

р(А)=

4/36=1/9;

р(С)=

16/36=4/9;

р(АС)

=1/9

p(A)·p(С)

=4/81

≠

- зависимы

p(A/С)=

р(АС)/р(С)=

1/9:4/9=1/4

(вер-ть вынуть туз из картинок =1/4, из всей колоды 1/9)

p(С/А)=р(АС)/р(А)=1/9:1/9=1
(если туз, то картинка. Событие стало достоверным)

2) АВ

= {туз черной масти};

р(А)=1/9;

18/36=1/2

2/36=1/18

р(АВ) =

=1/9*1/2=1/18

- независимы

р(В)=

Слайд 27

Формула полной вероятности.

Слайд 28

Задача. Схема дорог.
Туристы выбирают путь наудачу. Найти вероятность события А={туристы попадут

из пункта В в пункт С}

p(H1) p(H2) p(H3) p(H4)

= = =

=1/4;

p(A/H1)
p(A/H2)
p(A/H3)
p(A/H4)

=0;

=1/2;

= 1;

=2/5

=p(H1)p(A/H1) +

p(H2)p(A/H2) +

+ p(H3)p(A/H3) + p(H4)p(A/H4)=

= ¼(0+1+1/2+2/5) = 19/40 = 0,475

Слайд 29

Задача 1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых.

Во второй 20 – из них 4 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, затем из этих двух шаров на удачу взяли один. Какова вероятность, что этот шар белый.

p(А) = p(H1)p(A/H1) + p(H2)p(A/H2) = 1/2

p(H1)=

p(A/H1) =

8/10 = 4/5;

p(A/H2) =

4/20 = 1/5;

= 1/2

p(H2)

Задача 2. В прудике обитают окуни, карпы и язи. Причем их число соответственно составляет 0,6; 0,3 и 0,1 общего числа рыб соответственно. Вероятность поймать окуня составляет 0,6; карпа 0,4 и язя – 0,1 соответственно. Найти вероятность того, что рыбак вернется с уловом.

p(А) =

0,6 · 0,6 + 0,3 · 0,4 + 0,1 · 0,1

= 0,49

Слайд 30

Формула Байеса
Задача 1. Туристы выбирают путь наудачу.
Найти вероятность, что был

выбран второй
путь, если известно , что им удалось попасть из пункта В в пункт С.

p(H1) = p(H2) = p(H3) = p(H4) = 1/4
p(A/H1)=0; p(A/H2) =1/2;
p(A/H3) = 1; p(A/H4)=2/5
p(А) = 19/40 = 0,475

Слайд 31

Задача 2. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные,

средние и мелкие, причем их число составляет 0,1; 0,3 и 0,6 общего числа осколков соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний с вероятностью 0,4 и мелкий - с вероятностью 0,1. В результате подрыва снарядав броню попал один осколок и пробил ее. Найти вероятность того, что пробоина причинена крупным осколком.

Слайд 32

Задача 3. Литье в болванках поступает из двух заготовленных цехов:

70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литье первого цеха имеет 10% брака, второго - 20 % брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом.

Слайд 33

Задача 3. В кармане лежат батарейки трех типов. Вероятность того, что

батарейка разряжена соответственно равна 0,6; 0,2; 0,8. После установки наудачу выбранной батарейки часы пошли в ход. Найти вероятность того, что была выбрана батарейка 1) третьего типа, 2) второго типа.

Слайд 34

Схема независимых последовательных испытаний

Слайд 35

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Слайд 36

Задача. Вероятность отказа каждого прибора не зависит от отказов остальных приборов

и равна 0,2. испытано 9 приборов . Найти вероятности следующих событий:
А ={откажет ровно один прибор}
B ={откажет хотя бы один прибор}
C ={откажет не более одного прибора}
D ={все приборы}

n = 9, p= 0,2, q = 1- q = 0,8

P(A)=

P(C)=

P(D)=

Слайд 37

Формула Пуассона n ->∞ p ->0 npq ≤ 10
Задача. Аппаратура состоит из

1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=0,0005
А = {за время Т откажет ровно 3 элемента}
В = {хотя бы один}
С = {не более трех элементов}

n = 1000, р=0,0005, q = 1 – p = 0,9995, λ = np = 0,5

P(А)=

P(С)=

Слайд 38

Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра npq > 10
Задача. Вероятность рождения мальчика p=0,512.

Считая приемлемой локальную и интегральную теорему Лапласа-Муавра (npq = 100*0,512=24,98 >10) вычислить вер-ти событий
А= {среди 100 новорожденных будет 51 мальчик}
В = {среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек}

P(А)=

Слайд 39

Плотность вероятности нормального распределения

Слайд 40

,где
P(B)=

Слайд 41

Функция Лапласа

Слайд 42

Задача. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна

р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях. а)
б)

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

Схема курса Введение. Определение вероятности. Классическая теория вероятностей: теоремы сложения, умножения,

Ранние работы - XVII век. Блез Паскаль и Пьер Ферма. Вероятностные

Основные понятия. Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в

Attention!Закономерное событие – событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные

Статистическая устойчивость.Пусть эксперимент провели N раз, случайное событие А осуществилось N(А)

(Выпадение орла во всех случаях близко к ½.)Статистическое определение вероятности: если

Впервые такую устойчивость обнаружили в демографии.Например, установлено, что вероятность рождения мальчика

Формализация эксперимента1. описание множества элементарных исходов2. задание событий на этом множестве3.

Основные понятияОдним из основных понятий теории вероятностей являются множество элементарных исходов

Все события могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий Задача.