Теория оптимизации

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Теория оптимизации

Содержание

2. В прошлой лекции Введение, основные определения
3. В этой лекции Из мат. анализа – об экстремуме функции Изолинии Примеры на экстремум – условный
4. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума
5. Гессиан, матрица Гессе (определения) Гессиан «окаймленный гессиан» (определитель)
6. Экстремум функции одной переменной
7. Пример 1. Аналитический поиск безусловного экстремума. Функция одной переменной
8. К примеру 1
9. Пример 2. Аналитический поиск условного экстремума. Функция одной переменной
10. Условный экстремум. Функция двух переменных Это – также сведения из мат.анализа.
11. Пример 3. Аналитический поиск безусловного экстремума. Функция двух переменных
12. К примеру 3
13. Пример 4. Аналитический поиск экстремума в заданной области. Функция двух переменных
14. К примеру 4
15. Пример 5. Аналитический поиск условного экстремума функции двух переменных
16. Пример 5 (продолжение)
17. Пример 6. Поиск минимума методом половинного деления
18. Пример 7. Поиск минимума методом золотого сечения
19. Линии уровня. Примеры Линии (в трехмерном пространстве - поверхности), где значение функции постоянно. Также – изолинии.
20. Виды изолиний Изоанемона — линия одинаковых среднегодовых скоростей ветра. Изобаза — линия на карте, соединяющая точки
21. Пример. Изотермы
22. Пример. Изобары
23. Пример. Изогипсы (горизонтали)
24. Картины линий уровня. Котловины и овраги Совокупность точек излома = истинный овраг
25. Разрешимый овраг и неупорядоченный рельеф
26. Поверхности. Котловины, овраги, разрешимые овраги, неупорядоченный рельеф
27. Как построить линии уровня аналитически?
28. Овражные функции как «тестовые примеры» для алгоритмов Функция Розенброка (“banana function”)
29. Покоординатный спуск. Примеры и иллюстрации По каждой из координат можно решать одномерную задачу (золотое сечение, деление
30. Недостатки метода покоординатного спуска Существуют функции, для которых покоординатный спуск не находит локальный минимум. Пусть линии
31. Что нужно уметь делать самостоятельно Находить аналитически экстремум функции одной и двух переменных (безусловный и условный)
32. Книги по этой части курса Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. Пер а
34. Скачать презентацию

Слайд 2

В прошлой лекции
Введение, основные определения

Слайд 3

В этой лекции
Из мат. анализа – об экстремуме функции
Изолинии
Примеры на экстремум

– условный и безусловный
Примеры одномерного поиска
Примеры покоординатного спуска, некоторые особые случаи

Слайд 4

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Слайд 5

Гессиан, матрица Гессе (определения)
Гессиан
«окаймленный гессиан» (определитель)

Слайд 6

Экстремум функции одной переменной

Слайд 7

Пример 1. Аналитический поиск безусловного экстремума. Функция одной переменной

Слайд 8

К примеру 1

Слайд 9

Пример 2. Аналитический поиск условного экстремума. Функция одной переменной

Слайд 10

Условный экстремум. Функция двух переменных
Это – также сведения из мат.анализа.

Слайд 11

Пример 3. Аналитический поиск безусловного экстремума. Функция двух переменных

Слайд 12

К примеру 3

Слайд 13

Пример 4. Аналитический поиск экстремума в заданной области. Функция двух переменных

Слайд 14

К примеру 4

Слайд 15

Пример 5. Аналитический поиск условного экстремума функции двух переменных

Слайд 16

Пример 5 (продолжение)

Слайд 17

Пример 6. Поиск минимума методом половинного деления

Слайд 18

Пример 7. Поиск минимума методом золотого сечения

Слайд 19

Линии уровня. Примеры
Линии (в трехмерном пространстве - поверхности), где значение функции

постоянно. Также – изолинии.
Примеры – изобары (давление), изотермы (температура), изобаты (глубины) и тп

Слайд 20

Виды изолиний
Изоанемона — линия одинаковых среднегодовых скоростей ветра.
Изобаза — линия на карте, соединяющая

точки с равной амплитудой и направлением неотектонических движений.
Изобара — изолиния одинакового давления:
изобара в термодинамике — график изобарного процесса;
изобара в метеорологии — линия на карте, обозначающая область с той или иной границей давления.
Изобата — линия на карте, или плане, соединяющая точки одинаковых глубин водоёма (озера, моря).
Изогалина — линия на географической карте, соединяющая точки с одинаковой солёностью воды.
Изогиета — изолиния одинакового выпадения атмосферных осадков.
Изогипса (горизонталь) — изолиния одинаковых высот (обычно для отображения рельефа на топографической карте).
Изогона — изолиния ориентации каких-либо физических величин.
Изодинама (от изо … и греч. dynamis — сила) — изолиния полной напряжённости земного магнитного поля или её составляющих (горизонтальной, вертикальной и др.) на магнитных картах.
Изотерма — изолиния одинаковых температур:
изотерма в термодинамике — график изотермического процесса;
изотерма в метеорологии — линия на карте, обозначающая область с той или иной границей температуры.
Изокванта — изолиния одинакового объёма производства продукта в зависимости от факторов производства.
Изокоста — линия, демонстрирующая комбинации факторов производства, которые можно купить за одинаковую общую сумму денег.
Изопахита — изолиния одинаковых мощностей пласта горных пород.
Изотаха — изолиния одинаковых скоростей ветра (на карте максимальных ветров).
Изохора — изолиния одинаковых объёмов.

Слайд 21

Пример. Изотермы

Слайд 22

Пример. Изобары

Слайд 23

Пример. Изогипсы (горизонтали)

Слайд 24

Картины линий уровня. Котловины и овраги
Совокупность точек излома = истинный овраг

Слайд 25

Разрешимый овраг и неупорядоченный рельеф

Слайд 26

Поверхности. Котловины, овраги, разрешимые овраги, неупорядоченный рельеф

Слайд 27

Как построить линии уровня аналитически?

Слайд 28

Овражные функции как «тестовые примеры» для алгоритмов
Функция Розенброка (“banana function”)

Слайд 29

Покоординатный спуск. Примеры и иллюстрации
По каждой из координат можно решать одномерную

задачу (золотое сечение, деление пополам)

Слайд 30

Недостатки метода покоординатного спуска
Существуют функции, для которых покоординатный спуск не находит

локальный минимум.
Пусть линии уровня образуют истинный овраг (см.рис), когда спуск по любой координате приводит на <<дно>> оврага, а любое движение по следующей координате (пунктирная линия) ведет на подъем. Никакой дальнейший спуск по координатам в данном случае невозможен, хотя минимум еще не достигнут.

Слайд 31

Что нужно уметь делать самостоятельно
Находить аналитически экстремум функции одной и двух

переменных (безусловный и условный)
Вычислять экстремум функций одной переменной (глобальный и локальный) методами сеток, половинного деления, золотого сечения

Слайд 32

Книги по этой части курса
Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс /

Б. Банди. Пер а англ. – М.: Радио и связь, 1988. – 126
Рекомендую прочесть также:
Первозванский А.А. Поиск. - М. : Наука : Физматлит, 1970. - 263 с.