Системы случайных величин

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Системы случайных величин

Содержание

2. Системы случайных величин. (Краткое напоминание) Совокупность двух случайных величин {X,Y}, определенных на одном и том же
3. Функция распределения Функцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин {X,Y} называется вероятность совместного выполнения двух событий:
4. Дискретным случайным вектором называется такой случайный вектор, который может принимать значения только из заранее известной таблицы
5. Условные обозначения: СВ – случайная величина. НСВ - непрерывная случайная величина. ДСВ – дискретная случайная величина.
6. Пример непрерывного распределения случайного вектора. Система двух независимых непрерывных случайных величин, распределенных по показательному закону:
7. Еще один пример непрерывного распределения случайного вектора. Система двух независимых нормально распределенных непрерывных случайных величин :
8. Пример распределения дискретного случайного вектора. Система дискретных случайных величин задана таблицей распределения. В таблице указаны вероятности
9. Функции F1(x)=F(x,+∞) и F2(x)=F(+∞,y) называются частными (маргинальными) функциями распределения составляющих систему случайных величин. Для систем непрерывных
10. Имеют место следующие равенства: p(x,y)=py(x)p2(y) p(x,y)=px(y)p1(y)
11. Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин. Две случайные величины, входящие в
12. Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин (продолжение) Теорема: Для того, чтобы
13. Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариацией cov(X,Y) (или Kxy) двух случайных величин
14. Для систем дискретных случайных величин имеют место формулы: Здесь суммирование ведется по всем «клеткам» таблицы распределения.
15. Коэффициентом корреляции r(X.Y) двух случайных величин называется величина Если ковариация равна нулю, то X и Y
16. Регрессия. Условным математическим ожиданием случайной величины Y - ExY называется ее математическое ожидание, вычисленное по условному
17. Регрессия (продолжение). Условное математическое ожидание случайной величины Y - ExY при заданном значении x называется регрессией
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Системы случайных величин. (Краткое напоминание)
Совокупность двух случайных величин {X,Y}, определенных на

одном и том же вероятностном пространстве {Ω,F,P} и рассматриваемых совместно называется системой двух случайных величин или случайным вектором или двумерной случайной величиной.
(аналогично определяется система трех и более случайных величин)

Слайд 3

Функция распределения
Функцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин {X,Y} называется вероятность

совместного выполнения двух событий: (XF(x,y) = P((XГеометрически F(x,y) характеризует вероятность попадания точки (X,Y) в область, закрашенную на рисунке в зелёный цвет (исключая границу, окрашенную красным цветом)

Слайд 4

Дискретным случайным вектором называется такой случайный вектор, который может принимать значения

только из заранее известной таблицы – конечной или бесконечной.
Двумерная случайная величина называется непрерывной, если она принимает любое значение из некоторой области DєR2 и существует функция p(x,y)≥0 такая, что выполнены два условия:
и
Функция p(x,y) называется функцией плотности распределения. Равносильным определением функции плотности является
где производные понимаются как обобщенные .

Слайд 5

Условные обозначения:
СВ – случайная величина.
НСВ - непрерывная случайная величина.
ДСВ – дискретная

случайная величина.
ССВ – система случайных величин.
НССВ – система непрерывных случайных величин.
ДССВ - система дискретных случайных величин.
ФР – функция распределения.
ПР – плотность распределения.

Слайд 6

Пример непрерывного распределения случайного вектора.
Система двух независимых непрерывных случайных величин, распределенных

по показательному закону:

Слайд 7

Еще один пример непрерывного распределения случайного вектора.
Система двух независимых
нормально распределенных

непрерывных случайных величин :

Слайд 8

Пример распределения дискретного случайного вектора.
Система дискретных случайных величин задана таблицей распределения.

В таблице указаны вероятности событий, заключающихся в том, что случайный вектор примет соответствующее значение.
Сумма вероятностей в таблице точно равна единице.

Слайд 9

Функции F1(x)=F(x,+∞) и F2(x)=F(+∞,y) называются частными (маргинальными) функциями распределения составляющих систему

случайных величин.
Для систем непрерывных случайных величин определяются частные (маргинальные) функции плотности:
Условными функциями распределения называются функции:
Fy(x)=P((XДля систем непрерывных случайных величин определяются условные плотности распределения:

Слайд 10

Имеют место следующие равенства:
p(x,y)=py(x)p2(y)
p(x,y)=px(y)p1(y)

Слайд 11

Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин.
Две

случайные величины, входящие в систему случайных величин называются независимыми, если условная функция распределения одной из них не зависит от значения, принимаемого другой случайной величиной.
Теорема: Для того, чтобы две случайных величины были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных функций распределения:

Слайд 12

Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин

(продолжение)

Теорема: Для того, чтобы две непрерывные случайные величины были независимыми необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы непрерывных случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных плотностей распределения:
В этом случае:

Слайд 13

Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции.
Ковариацией cov(X,Y) (или

Kxy) двух случайных величин называется их центральный смешанный момент:
Для систем непрерывных случайных величин имеют место формулы:

Слайд 14

Для систем дискретных случайных величин имеют место формулы:
Здесь суммирование ведется по

всем «клеткам» таблицы распределения. Индекс I – номер значения ДСВ X, а индекс j - номер значения ДСВ Y.
Вспомните задачу номер 8 из контрольной работы по теории вероятностей!

Слайд 15

Коэффициентом корреляции r(X.Y) двух случайных величин называется величина
Если ковариация равна нулю,

то X и Y называются некоррелированными.
Если две случайные величины независимы, то они и некоррелированные. Обратное утверждение, в общем случае, неверно.
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости.

Слайд 16

Регрессия.
Условным математическим ожиданием случайной величины Y - ExY называется ее математическое

ожидание, вычисленное по условному закону распределения, при условии, что случайная величина X приняла значение x. Например, для систем непрерывных случайных величин X,Y имеет место формула:

Слайд 17

Регрессия (продолжение).
Условное математическое ожидание случайной величины Y - ExY при заданном

значении x называется регрессией Y на x.
График зависимости ExY от величины x называется линией регрессии, или кривой регрессии Y на x.
Регрессия X на y определяется аналогично.
Для независимых случайных величин линии регрессии параллельны координатным осям. Обратное утверждение неверно.
Если случайная величина Y есть неслучайная функция СВ X, то линия регрессии Y на x будет просто графиком этой неслучайной функции.

Системы случайных величин

Содержание

Системы случайных величин. (Краткое напоминание)Совокупность двух случайных величин {X,Y}, определенных на

Функция распределенияФункцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин {X,Y} называется вероятность

Дискретным случайным вектором называется такой случайный вектор, который может принимать значения

Условные обозначения:СВ – случайная величина.НСВ - непрерывная случайная величина.ДСВ – дискретная

Пример непрерывного распределения случайного вектора.Система двух независимых непрерывных случайных величин, распределенных

Еще один пример непрерывного распределения случайного вектора.Система двух независимых нормально распределенных

Пример распределения дискретного случайного вектора.Система дискретных случайных величин задана таблицей распределения.

Функции F1(x)=F(x,+∞) и F2(x)=F(+∞,y) называются частными (маргинальными) функциями распределения составляющих систему

Имеют место следующие равенства:p(x,y)=py(x)p2(y)p(x,y)=px(y)p1(y)

Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин.Две