Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной неявно. Теорема. (Семинар 8)

производную функции y(y>0), определенную уравнением (уравнение эллипса) Разрешая это уравнение относительно y и, выбирая знак
плюс в силу начального условия получаем функцию в явном виде
Однако в некоторых случаях уравнение элементарными средствами нельзя разрешить относительно y и приходится рассматривать y как неявную функцию от x.
Существует другой способ нахождения производной.
Предполагая, что в уравнение подставлено вместо y явное выражение получим тождество: причем y функция от x. Очевидно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей тождества и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
Примеры с решениями
1. Найти производные сложных функций

заданных неявно
Решение
Решение