Правильные многоугольники

равны и все стороны равны

Почему?

10

n = 12

1800 (n - 2)
Сумма углов выпуклого семиугольника равна:
∑углов 7-уг . = 1800 · (7 - 2) = 9000
Сумма углов выпуклого одиннадцатиугольника равна: ∑углов 11-уг . = 1800 · (11 - 2) =16200

с внутренним.
Сумма внешних углов любого многоугольника равна 3600.
Внешний угол правильного n-угольника равен

способ
n-количество сторон
Сумма углов равна 1800 (n-2) или 1500n
Имеем уравнение:
1800(n-2)=1500n
1800n-360=1500n
30n = 360
n = 12

2 способ
Внешний угол многоугольника равен 1800 – 1500 = 300.
n-количество сторон, углов
n = 3600 : 300 = 12

и притом только одну.

А1

А2

А3

О

1

2

3

4

Пусть точка О – точка пересечения биссектрис углов А1 и А2

Δ А1А2О – равнобедренный (почему?)

Δ А1А2О = Δ А2А3О (почему?)

ОА2 = ОА3

ОА1 = ОА2

Аналогично ОА3 = ОА4, ОА4 = ОА5 ….

Вывод ОА1 = ОА2= ОА3 = ОА4 = ОА5 = …. Точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, О центр - описанной окружности

Единственность: так как через какие-нибудь три вершины многоугольника (например. А1, А2, А3) проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность

Около правильного многоугольника можно описать окружность, и только одну.
Центр окружности –
точка пересечения биссектрис
Радиус – отрезок, соединяющий центр с любой вершиной многоугольника

притом только одну.

А1

А2

А3

Аn

Н2

О

Н1

Пусть О – центр описанной окружности

Δ А1А2О = Δ А2А3О= Δ А3А4О = ...

ОН1, ОН2, ОН3, … высоты этих треугольников

Вывод ОН1 = ОН2= ОН3 = ОН4 = ОН5 = …. Окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2, Н3, … и касается многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в многоугольник.

ОН1=ОН2=ОН3=… (?)

Единственность: Предположим, что существует еще одна окружность, вписанная в многоугольник. Её центр О1 равноудален от сторон многоугольника, то есть точка О лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус второй окружности равен расстоянию от О до сторон многоугольника, то есть равен ОН1. Т.О. Вторая окружность совпадает с первой.

Н3

пересечения биссектрис
Радиус – перпендикуляр, опущенный из центра на сторону многоугольника
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, –
точка пересечения биссектрис
Радиус – отрезок, соединяющий центр с любой вершиной многоугольника