Задача аппроксимации. Виды интерполяции. Параболическая интерполяция. Единственность интерполяционного многочлена. (Лекция 3)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Задача аппроксимации. Виды интерполяции. Параболическая интерполяция. Единственность интерполяционного многочлена. (Лекция 3)

Содержание

2. Задача аппроксимации Задача аппроксимации состоит в приближенной замене функции f(x), заданной таблично, на некоторую функцию ϕ(х)
3. Постановка задачи интерполяции Пусть функция y = f(x) задана таблицей значений в n+1 точке: так, что
4. Геометрическая иллюстрация постановки задачи интерполяции
5. Применение интерполяции 1) интерполяция используется в тех случаях, когда интерполируемая функция известна лишь при некоторых дискретных
6. Применение интерполяции 2) интерполяция используется при решении ряда других задач вычислительной математики: приближенное нахождение корня уравнения
7. Множество решений задачи интерполяции
8. Виды интерполяции
9. Постановка задачи параболической интерполяции Функция y = f(x) задана таблицей значений в n+1 точке: y0 =
10. Единственность интерполяционного многочлена
11. Линейная интерполяция
12. Пример построения интерполяционного многочлена непосредственным решением СЛУ
13. Интерполяционная формула Лагранжа
14. Интерполяционная формула Лагранжа
15. Интерполяционная формула Лагранжа Полученная формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Несмотря на некоторую громоздкость, одним из преимуществ
16. Формулы Лагранжа для линейной и квадратичной интерполяции
17. Пример использования формулы Лагранжа Пусть интерполируемая функция f(x) задана той же таблицей, что и в предыдущем
18. Интерполяционная схема Эйткена ………………………………………………………………………………………………………
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Задача аппроксимации
Задача аппроксимации состоит в приближенной замене функции f(x), заданной таблично,

на некоторую функцию ϕ(х) так, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) в некоторой области удовлетворяло заданному условию. Функция ϕ(х) называется аппроксимирующей функцией.
В качестве аппроксимирующей функции часто используют алгебраический многочлен вида:
ϕn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
В этом случае говорят о параболической аппроксимации.
Интерполяция является важным частным случаем аппроксимации.

Слайд 3

Постановка задачи интерполяции
Пусть функция y = f(x) задана таблицей значений в

n+1 точке:
так, что y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … yn = f(xn).
Требуется найти функцию F(x), приближающую функцию f(x) (f(x) = F(x) + R(x), где R(x) – погрешность интерполяции), совпадающую с функцией f(x) в точках xi (i=0, 1, 2, …n). Функция f(x) называется интерполируемой, F(x) – интерполирующей, точки xi (i=0, 1, 2, …n) – узлами интерполяции.

Слайд 4

Геометрическая иллюстрация постановки задачи интерполяции

Слайд 5

Применение интерполяции
1) интерполяция используется в тех случаях, когда интерполируемая функция известна

лишь при некоторых дискретных значениях аргумента xi, а требуется получить ее приближенные значения в других точках x≠ xi:
если f(xi) – результаты эксперимента (измерений);
если f(xi) – результаты сложных вычислений на компьютере, например, результаты имитационного моделирования;
если f(xi) – табличные значения некоторой элементарной или специальной функции, а требуется получить таблицу с меньшим шагом или значение функции при x≠ xi.

Слайд 6

Применение интерполяции
2) интерполяция используется при решении ряда других задач вычислительной математики:
приближенное

нахождение корня уравнения f(x) = 0 методом обратной интерполяции;
численное дифференцирование и интегрирование функции f(x);
приближенное определение экстремума функции f(x).

Слайд 7

Множество решений задачи интерполяции

Слайд 8

Виды интерполяции

Слайд 9

Постановка задачи параболической интерполяции
Функция y = f(x) задана таблицей значений в

n+1 точке:
y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … yn = f(xn).
Требуется найти многочлен Pn(x) степени n, значения которого
Pn(xi) = f(xi), i=0, 1, 2, … n.

Слайд 10

Единственность интерполяционного многочлена

Слайд 11

Линейная интерполяция

Слайд 12

Пример построения интерполяционного многочлена непосредственным решением СЛУ

Слайд 13

Интерполяционная формула Лагранжа

Слайд 14

Интерполяционная формула Лагранжа

Слайд 15

Интерполяционная формула Лагранжа
Полученная формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Несмотря на некоторую

громоздкость, одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. При этом следует учитывать следующие правила:
формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице;
каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение yi;
числитель коэффициента при yi содержит произведение разностей х со всеми узлами кроме xi, а знаменатель полностью повторяет числитель при подстановке х = xi.

Слайд 16

Формулы Лагранжа для линейной и квадратичной интерполяции

Слайд 17

Пример использования формулы Лагранжа
Пусть интерполируемая функция f(x) задана той же таблицей,

что и в предыдущем разделе. Требуется найти приближенное значение функции в точке x = 0.5 путем квадратичной интерполяции.

Слайд 18

Задача аппроксимации. Виды интерполяции. Параболическая интерполяция. Единственность интерполяционного многочлена. (Лекция 3)

Содержание

Задача аппроксимацииЗадача аппроксимации состоит в приближенной замене функции f(x), заданной таблично,

Постановка задачи интерполяцииПусть функция y = f(x) задана таблицей значений в

Геометрическая иллюстрация постановки задачи интерполяции

Применение интерполяции1) интерполяция используется в тех случаях, когда интерполируемая функция известна

Применение интерполяции2) интерполяция используется при решении ряда других задач вычислительной математики:приближенное

Множество решений задачи интерполяции

Виды интерполяции

Постановка задачи параболической интерполяцииФункция y = f(x) задана таблицей значений в

Единственность интерполяционного многочлена

Линейная интерполяция

Пример построения интерполяционного многочлена непосредственным решением СЛУ

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула ЛагранжаПолученная формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Несмотря на некоторую

Формулы Лагранжа для линейной и квадратичной интерполяции

Пример использования формулы ЛагранжаПусть интерполируемая функция f(x) задана той же таблицей,

Интерполяционная схема Эйткена………………………………………………………………………………………………………

Похожие презентации

Задача аппроксимации
Задача аппроксимации состоит в приближенной замене функции f(x), заданной таблично,

Постановка задачи интерполяции
Пусть функция y = f(x) задана таблицей значений в

Применение интерполяции
1) интерполяция используется в тех случаях, когда интерполируемая функция известна

Применение интерполяции
2) интерполяция используется при решении ряда других задач вычислительной математики:
приближенное

Постановка задачи параболической интерполяции
Функция y = f(x) задана таблицей значений в

Интерполяционная формула Лагранжа
Полученная формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Несмотря на некоторую

Пример использования формулы Лагранжа
Пусть интерполируемая функция f(x) задана той же таблицей,

Интерполяционная схема Эйткена
………………………………………………………………………………………………………