Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение

Содержание

2. Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Числовые характеристики Показательное распределение. Числовые характеристики. Равномерное распределение. Числовые характеристики.
3. Определения Случайная величина называется дискретной, если ее различные возможные значения можно перенумеровать. Множество возможных значений может
4. Примеры дискретная СВ непрерывная СВ
5. Характеристики ДСВ Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между каждым ее возможным значением x1
6. Характеристики НСВ Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие между каждым ее возможным значением x1
7. Характеристики НСВ Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(X), равная при каждом xЄR
8. Числовые характеристики ДСВ Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной таблицей, называется число M(X), вычисленное по
9. Числовые характеристики ДСВ Дисперсией дискретной случайной величины X D(X) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
10. Числовые характеристики ДСВ Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии:
11. Числовые характеристики НСВ Математическое ожидание непрерывной случайной величины M(X) удовлетворяет равенству: Дисперсия непрерывной случайной величины D(X)
12. Числовые характеристики НСВ Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины X - неотрицательный квадратный корень из ее
14. Виды законов распределения Нормальное распределение Показательное (экспоненциальное) распределение Равномерное распределение Распределение Пирсона (χ2 – хи-квадрат) Распределение
15. Нормальное распределение Числовые характеристики
16. Нормальным называется распределение вероятностей таких непрерывных случайных величин, у которых плотность распределения вероятностей задается формулой: где
17. Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:
18. Функция распределения График функции симметричен относительно прямой x=m. Функция достигает максимума при x=m, а ее график
19. Плотность распределения Функция Ф(х) обладает следующими свойствами. 1°. Ф(0)=0 2°. При |x|≥4 величина практически равна 1/2.
20. Числовые характеристики Математическое ожидание: Дисперсия Среднее квадратическое отклонение σ(X)= σ.
22. Определение Непрерывная случайная величина X называется экспоненциально (показательно) распределенной, если ее плотность распределения равна: λ –
23. Графики Плотность распределения Функция распределения
24. Числовые характеристики Математическое ожидание: Дисперсия Среднее квадратическое отклонение σ(X)=1/λ.
26. Определение Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только на отрезке [a, b], называется
27. Графики Плотность распределения Функция распределения
28. Числовые характеристики Математическое ожидание: Дисперсия Среднее квадратическое отклонение
30. Задача Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает
31. Задача Таким образом, функция распределения F (t) = P(T определяет вероятность отказа за время длительностью t.
32. Определение Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:
34. Часто длительность времени безотказной работы момента имеет показательное распределение, функция распределения которого определяется формулой: F(t)=1- e
35. Определение Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством R (t) = e -λ·t где λ
36. Свойство закона надежности Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени
37. Пример Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t при t ≥0 (t
38. Пример Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t при t ≥0 (t
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Типичные законы распределения вероятностей.
Нормальное распределение. Числовые характеристики
Показательное распределение. Числовые характеристики.
Равномерное

распределение. Числовые характеристики.
Функция надежности.
Показательный закон надежности

Вопросы темы

Слайд 3

Определения
Случайная величина называется дискретной, если ее различные возможные значения можно перенумеровать.

Множество возможных значений может быть конечным или бесконечным (ряд натуральных чисел).
Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать любое значение из некоторого промежутка – конечного или бесконечного.

Слайд 4

Примеры
дискретная СВ
непрерывная СВ

Слайд 5

Характеристики ДСВ
Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между каждым

ее возможным значением x1 и вероятностью ее появления p1
Функцией распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется функция F(X), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X

Слайд 6

Характеристики НСВ
Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие между каждым

ее возможным значением x1 и вероятностью ее появления p1

Слайд 7

Характеристики НСВ
Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(X),

равная при каждом xЄR вероятности того, что X в результате испытания примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция f(X), задаваемая равенством:
f(x)=F'(x), xЄR.

Слайд 8

Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной таблицей,
называется

число M(X), вычисленное по формуле

Слайд 9

Числовые характеристики ДСВ
Дисперсией дискретной случайной величины X
D(X) называется математическое ожидание

квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания

Слайд 10

Числовые характеристики ДСВ
Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X
называется квадратный

корень из ее дисперсии:

Слайд 11

Числовые характеристики НСВ
Математическое ожидание непрерывной случайной величины M(X) удовлетворяет равенству: Дисперсия непрерывной

случайной величины D(X) определяется формулой:

Слайд 12

Числовые характеристики НСВ
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины X - неотрицательный

квадратный корень из ее дисперсии:

Слайд 13

Слайд 14

Виды законов распределения
Нормальное распределение
Показательное (экспоненциальное) распределение
Равномерное распределение
Распределение Пирсона (χ2 – хи-квадрат)
Распределение

Стьюдента
Распределение Фишера

Слайд 15

Нормальное распределение
Числовые характеристики

Слайд 16

Нормальным называется распределение вероятностей таких непрерывных случайных величин, у которых плотность

распределения вероятностей задается формулой:
где m, σ – некоторые числа и σ>0.

Слайд 17

Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:

Слайд 18

Функция распределения

График функции симметричен относительно прямой x=m. Функция достигает максимума при

x=m, а ее график имеет точки перегиба при x=m+σ и x=m-σ. При x→±∞ график функции асимптотически приближается к оси Ox. При увеличении σ кривая плотности распределения становится более пологой. При уменьшении σ график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При m=0 осью симметрии является ось Oy.

График I соответствует значениям m=0, σ=1, а график II - значениям m=0, σ=1/2.

Слайд 19

Плотность распределения

Функция Ф(х) обладает следующими свойствами. 1°. Ф(0)=0 2°. При |x|≥4

величина практически равна 1/2. 3°. Ф(-x)=-Ф(х), т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией
Для функции распределения вероятности составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента.

Слайд 20

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
σ(X)= σ.

Слайд 21

Слайд 22

Определение
Непрерывная случайная величина X называется экспоненциально (показательно) распределенной, если ее плотность

распределения равна:
λ – положительный параметр.
Интегральная функция F(X) имеет вид:

Слайд 23

Графики
Плотность распределения
Функция распределения

Слайд 24

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
σ(X)=1/λ.

Слайд 25

Слайд 26

Определение
Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только на

отрезке [a, b], называется равномерно распределенной, если ее плотность распределения равна
Функция распределения F(x) описывается формулой

Слайд 27

Графики
Плотность распределения
Функция распределения

Слайд 28

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Слайд 29

Слайд 30

Задача
Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или

«сложное».
Пусть элемент начинает работать в момент времени t0=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

Слайд 31

Задача
Таким образом, функция распределения
F (t) = P(T определяет вероятность отказа за

время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность противоположного события Т > t, равна
R(t) = P(T>t) = 1- F(t).

Слайд 32

Определение
Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента

за время длительностью t:
R(t) = P(T>t).

Слайд 33

Слайд 34

Часто длительность времени безотказной работы момента имеет показательное распределение, функция распределения

которого определяется формулой:
F(t)=1- e -λ·t
Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = 1 — F (t) = 1 — (1 - e -λ·t) = e -λ·t

Слайд 35

Определение
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
R (t) = e

-λ·t
где λ - интенсивность отказов.
Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t, если время безотказной работы имеет показательное распределение

Слайд 36

Свойство закона надежности
Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t

не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов λ)

Слайд 37

Пример
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t

при t ≥0 (t — время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Слайд 38

Пример
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t

при t ≥0 (t — время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.
РЕШЕНИЕ.
По условию, постоянная интенсивность отказов λ=0,02.

Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение

Содержание

Определения Случайная величина называется дискретной, если ее различные возможные значения можно перенумеровать.

Примерыдискретная СВнепрерывная СВ

Характеристики ДСВ Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между каждым

Характеристики НСВ Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие между каждым

Характеристики НСВ Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(X),

Числовые характеристики ДСВ Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной таблицей, называется

Числовые характеристики ДСВ Дисперсией дискретной случайной величины X D(X) называется математическое ожидание

Числовые характеристики ДСВ Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X называется квадратный

Числовые характеристики НСВ Математическое ожидание непрерывной случайной величины M(X) удовлетворяет равенству: Дисперсия непрерывной

Числовые характеристики НСВ Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины X - неотрицательный

Нормальное распределениеЧисловые характеристики

Нормальным называется распределение вероятностей таких непрерывных случайных величин, у которых плотность

Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:

Функция распределения График функции симметричен относительно прямой x=m. Функция достигает максимума при

Плотность распределения Функция Ф(х) обладает следующими свойствами. 1°. Ф(0)=0 2°. При |x|≥4

Числовые характеристикиМатематическое ожидание:ДисперсияСреднее квадратическое отклонениеσ(X)= σ.

Определение Непрерывная случайная величина X называется экспоненциально (показательно) распределенной, если ее плотность

ГрафикиПлотность распределенияФункция распределения

Числовые характеристикиМатематическое ожидание:ДисперсияСреднее квадратическое отклонениеσ(X)=1/λ.

Определение Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только на

ГрафикиПлотность распределенияФункция распределения

Числовые характеристикиМатематическое ожидание:ДисперсияСреднее квадратическое отклонение

Задача Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или

Задача Таким образом, функция распределения F (t) = P(T определяет вероятность отказа за

Определение Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента

Часто длительность времени безотказной работы момента имеет показательное распределение, функция распределения

Определение Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенствомR (t) = e

Свойство закона надежности Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t

Пример Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t

Пример Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t

Похожие презентации

Определения
Случайная величина называется дискретной, если ее различные возможные значения можно перенумеровать.

Примеры
дискретная СВ
непрерывная СВ

Характеристики ДСВ
Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между каждым

Характеристики НСВ
Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие между каждым

Характеристики НСВ
Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(X),

Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной таблицей,
называется

Числовые характеристики ДСВ
Дисперсией дискретной случайной величины X
D(X) называется математическое ожидание

Числовые характеристики ДСВ
Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X
называется квадратный

Числовые характеристики НСВ
Математическое ожидание непрерывной случайной величины M(X) удовлетворяет равенству: Дисперсия непрерывной

Числовые характеристики НСВ
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины X - неотрицательный

Нормальное распределение
Числовые характеристики

Функция распределения

График функции симметричен относительно прямой x=m. Функция достигает максимума при

Плотность распределения

Функция Ф(х) обладает следующими свойствами. 1°. Ф(0)=0 2°. При |x|≥4

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
σ(X)= σ.

Определение
Непрерывная случайная величина X называется экспоненциально (показательно) распределенной, если ее плотность

Графики
Плотность распределения
Функция распределения

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
σ(X)=1/λ.

Определение
Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только на

Графики
Плотность распределения
Функция распределения

Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Задача
Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или

Задача
Таким образом, функция распределения
F (t) = P(T определяет вероятность отказа за

Определение
Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента

Определение
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
R (t) = e

Свойство закона надежности
Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t

Пример
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t

Пример
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02·e-0,02t