Теория вероятностей, математическая статистика и случанйные процессы

Литература
1 .Гмурман В.Е. Курс теории вероятностей. М.: В.Ш. 1977,1999.
2.

Пространство элементарных событий Ω

Пространством элементарных событий Ω называется множество элементарных событий ωi ,

Случайные события

Случайным событием или просто событием называется подмножество А множества Ω: A ⊆

Действия над событиями

A∪B - объединение множеств (событий)
A∩B – пересечение множеств (событий)
Ā=

Комбинаторика

Основное правило комбинаторики: пусть требуется совершить одно за другим К действий и

Сочетания:
Перестановки:
Размещения:
Комбинации с возвращением:

Вероятность

Аксиоматическое определение вероятности: Вероятность на пространстве элементарных событий Ω называется функция Р(А), обладающая

Классическая вероятность: Р(А)=m/n, n-число элементарных событий для Ω; m-число элементарных событий для А.
Геометрическая

Вероятность суммы

вероятность суммы для совместных событий А и В определяется по

Условная вероятность

Условная вероятность для зависимых событий определяется по соотношению
Р(А/В)

Вероятность произведения

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из этих

Формула полной вероятности
А-произвольное событие;
События Н1, Н2,…Нn попарно несовместны, называются гипотезами

Формула Байеса
Это вероятность наступления К гипотезы при условии, что событие А произошло.

Испытания Бернулли

Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых с постоянной

Случайная величина

Случайная величина ξ это действительная функция ξ= ξ (ω),

Случайная величина дискретного типа

Закон задается в виде ряда распределения-это совокупность пар

Функция распределения
F(x)=P(ξЭто вероятность того, что случайная величина принимает значение расположенное левее

Свойства функции распределения

F(-∞)=0; F(∞)=1;
F(x)-неубывающая функция; х1<х2, F(x1)≤F(x2)
F(x)-непрерывная функция; limF(x)=F(x0); x→x0-0;
Вероятность

Случайная величина непрерывного типа
f(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ.

Плотность вероятностей

Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ, называется предел отклонения вероятности

Свойства плотности вероятностей

График плотности вероятностей f(x) – кривая распределения вероятностей;
Плотность вероятностей

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание – это число, которое характеризует среднее

Свойства математического ожилания

1 Математическое ожидание постоянной величины С равно
самой постоянной

Дисперсия случайной величины

Дисперсией случайной величины ξ называется число
Dξ=М(ξ – Мξ)2,
Которое

Для дискретной ξ:
Для непрерывной ξ:

Свойства дисперсии

1 Дисперсия положительная величина Dξ≥0;
2 Дисперсия постоянной величины равна нулю:

4 Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий

Моменты

Начальный момент К порядка:
νk=Mξk, ν1=Mξ; Для дискретной ξ:
Для непрерывной ξ:

Центральный момент К порядка:
μк=М(ξ-Мξ)к, μ1=0, μ2=Dξ;
Для дискретной ξ: Для непрерывной

Квантиль

Квантиль порядка Р для распределения F(x) называется значение εР для которого F(εР )=P.

Типовые законы распределения случайных величин

Биномиальный закон: Проводится серия из “n”однородных и независимых

Целочисленная случайная величина ξ подчинена биномиальному закону, если вероятности ряда распределения

Закон Пуассона

ξ – дискретная случайная величина, которая принимает целые неотрицательные значения:

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина ξ распределена по равномерному закону, если плотность

Функция распределения

Математическое ожидание: Мξ=(в+а)/2; Дисперсия: Dξ=(b-a)2/12.

Закон экспоненциального распределения

Непрерывная случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону, если

Функция распределения

Математическое ожидание: Мξ=1/λ; Дисперсия: Dξ=1/λ2.

Закон нормального распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятностей:
Функция распределения: Математическое ожидание: Мξ=а; Дисперсия: Dξ=σ2.

Интеграл вероятностей

Интеграл вероятностей есть функция распределения Гауссовской случайной величины Z:

Локальная теорема Муавра-Лапласа

При неограниченном увеличении числа испытаний “n” формула Бернулли сводится

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

При неограниченном увеличении числа испытаний “n” вероятность попадания случайной

Системы случайных величин

Совокупность нескольких случайных величин, рассматриваемых совместно называется системой случайных

Законы распределения системы

Таблица распределения является формой записи закона распределения системы дискретной

Функция распределения системы

F(x,y)=P(ξДля непрерывной системы случайных величин: f(x,y) – плотность

Плотность системы случайных величин

Свойства плотности вероятностей системы
1 Плотность системы неотрицательная

Вероятность попадания системы в область D:

Дисперсия системы

Дисперсия системы определяется по законам отдельных составляющих системы:

Корреляционный момент

Корреляционный момент есть математическое ожидание центрированной системы: Для дискретной

Для непрерывной системы:

х,у – возможные значения ξ, η;
f(x,y) – плотность вероятностей

Свойства корреляционного момента

Корреляционный момент симметричен:
Кξη = К ηξ;
Кξξ =

Коэффициент корреляции

Наличие размерности у корреляционного момента вызывает неудобства, поэтому

Коэффициент корреляции обладает свойствами корреляционного момента:
показывает меру линейной связи между

Условное математическое ожидание; линейная регрессия

Для дискретной ξ:
Для непрерывной ξ : Функция регрессии показывает