Решение задач на алгебру логики

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Решение задач на алгебру логики

Содержание

2. Задача 1 В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - Антипов (А), Борисов (В),
3. Решение: Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое логическое выражение и провести
4. 1) A→B; 2) B→C \/ ¬A; 3) ¬D→A¬C; 4) D→A.
5. Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы,
6. Итак, строим логическое выражение: (A→B)(B→C\/A)(¬D→ A¬C)(D→A).
7. Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение: (¬A\/B)(¬B\/C\/¬A)(D\/A¬C)(¬D\/A).
8. Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой. (¬A¬B \/ ¬AC \/ ¬A \/
9. Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них входит сразу и переменная и
10. В итоге получаем: (¬A \/ BC)(DA \/ A¬C).
11. При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Задача 1
В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка -

Антипов (А), Борисов (В), Цветков (С) и Дмитриев (D). Известно, что:
1) Если А нарушил, то и В нарушил правила обмена валюты.
2) Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушал.
3) Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушал.
4) Если D нарушил, то и А нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

Слайд 3

Решение:
Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое

логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «A нарушил правила», «B нарушил правила», «C нарушил правила», и «D нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами A, B, C, D. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):

Слайд 4

$1) A→B; 2) B→C \/ ¬A; 3) ¬D→A¬C; 4) D→A.$

1) A→B; 2) B→C \/ ¬A; 3) ¬D→A¬C; 4) D→A.

Слайд 5

Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их

знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).

Слайд 6

$Итак, строим логическое выражение: (A→B)(B→C\/A)(¬D→ A¬C)(D→A).$

Итак, строим логическое выражение: (A→B)(B→C\/A)(¬D→ A¬C)(D→A).

Слайд 7

$Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение: (¬A\/B)(¬B\/C\/¬A)(D\/A¬C)(¬D\/A).$

Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции

импликации. Получаем следующее выражение: (¬A\/B)(¬B\/C\/¬A)(D\/A¬C)(¬D\/A).

Слайд 8

Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой. (¬A¬B \/

¬AC \/ ¬A \/ BC \/ B¬A)(DA \/ A¬C¬D \/ A¬C).

Слайд 9

Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них

входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе A с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое.

Слайд 10

$В итоге получаем: (¬A \/ BC)(DA \/ A¬C).$

В итоге получаем: (¬A \/ BC)(DA \/ A¬C).

Слайд 11

При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю,

а последнее будет выглядеть следующим образом: ABCD. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).