Расчет надежности систем с восстановлением

Восстановление – процесс перевода объекта в работоспособное состояние из неработоспособного состояния.
Восстанавливаемый

Показатели надежности восстанавливаемых объектов

Средняя наработка на отказ объекта (наработка на

Время восстановления. Пояснение.

Время восстановления – это время, затраченное на обнаружение, поиск

Среднее время восстановления - это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния

В случае, если интенсивность восстановлений постоянна, то есть , вероятность восстановления

Если известно время жизни, то
- среднее время между отказами (математическое

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем

Сложные, в большинстве

Пусть имеется некоторая физическая система S, состояние которой меняется с течением

Пример 1

Пример 1. Технический агрегат (рис. 1) рассматривается как система S,

Пример 2. Система S состоит из двух узлов (рис. 2), каждое

Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с

Пусть система S в процессе эксплуатации может находиться в состояниях S1,

Обозначим Pi (t) - вероятность того, что в момент времени

Поставим задачу – определить для любого t вероятности состояний:

Для того, чтобы найти эти вероятности, необходимо знать характеристики процесса.

Пусть система S в момент времени находится в состоянии Si

Назовем плотностью вероятности перехода предел отношения вероятности перехода системы за

Из формулы следует, что при малом Δt вероятность перехода равна

Если все плотности вероятностей перехода не зависят от (т. е.

Предположим, что нам известны плотности вероятностей перехода для всех пар

Поставим себе задачу: найти одну из вероятностей состояний, например, . Это

1. в момент система уже была в состоянии S1, а за

Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности того, что в момент

Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности того, что в момент система

Применяя правило сложения вероятностей, получим:
Раскроем скобки в правой части, перенесем

Теперь устремим к нулю и перейдем к пределу:
Левая часть не что

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть выведены и для остальных вероятностей состояния:

Рассмотрим второе состояние S2 и найдем – вероятность того, что в

1. в момент t система уже была в состоянии S2, а

Вероятность первого варианта вычисляется так: умножается на условную вероятность того,

Вероятность того, что не осуществится ни один из этих переходов,

Перенося в левую часть, деля на и переходя к пределу, получим

Рассуждая аналогично для состояний S3 , S4 , получим в

Эти уравнения для вероятностей состояний и называются уравнениями Колмогорова. Интегрирование

Заметим, что всех четырех уравнений для
можно было бы и

Правило записи уравнений Колмогорова

В левой части каждого уравнения стоит производная

НЭКИС

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Некоторые цепи Маркова, удовлетворяющие определенным условиям имеют предельные вероятности равные

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с системой S

Графы, где есть предельные вероятности

Графы, где нет предельных вероятностей

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами p1, p2,

Таким образом, при t → ∞ в системе S устанавливается

Например, если у системы S состояния: S1, S2, S3, причем

Пример 1

Продолжение примера 1

Нормализация уравнений:
P=A-1 *B

Пример 1. Матрица А

Пример 1. Матрица B

Для решения системы линейных уравнений, с использованием пакета Mathcad, применяется запись:

Пример 2

Процесс «гибели и размножения»

Рассмотрим пример. Пусть система управления предприятия на

Обозначим соcтояния системы
S1 - все три сервера работоспособны;
S2 - один

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее

Итак, рассмотрим случайный процесс «гибели и размножения» с графом состояний, представленным

Напишем уравнения для предельных вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем:
Отсюда

Для второго состояния S2 можем записать:
Но, в силу ,

Одним словом, для схемы “гибели и размножения” члены, соответствующие стоящим

Итак, предельные вероятности состояний
в любой схеме “гибели и размножения” удовлетворяют

Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения выразим P2:
Эта

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех

Подставим эти выражения в нормировочное условие: P1 + P2 +P3

Остальные вероятности выражаются через P1:
. . . . .
Таким образом, задача

Пример

Пример. Рассмотрим пример, приведенный в самом начале данного раздела. Система

Решение. Состояние системы нумеруем: S1 - все три сервера работоспособны; S2

Если система находится в состоянии S1, то работоспособны все три сервера;

По стрелкам влево система переходит после восстановления работоспособности отказавшего сервера. Среднее

Пользуясь полученными выше общим решением задачи гибели и размножения, имеем:

Найденные предельные вероятности представляют собой среднее относительное время пребывания системы

Зададимся конкретными значениями: T0 - 40000 ч.. Отказавший сервер направляется немедленно

P2 = 0,003587071
P3 = 1,43483E-06
P4 = 1,72179E-09
T = (4 года)*(365 дней)*(24

Конец

λ 1 λ 2, λ 3, λ 4, a λ

Задача.

Наработка до отказа измерительного комплекса подчинена экспоненциальному закону с интенсивностью