Методы интегрирования

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Методы интегрирования

Содержание

2. Содержание Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства Таблица основных интегралов Методы интегрирования: Непосредственное интегрирование Метод
3. 1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства Функция называется первообразной для функции в промежутке если
4. Основные свойства Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: Дифференциал неопределённого интеграла
5. 2. Таблица основных интегралов
6. 3. Методы интегрирования
7. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи: данный
8. Метод замены переменной Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл
9. Пример: Вычислить Обозначим 3x+1=t, откуда . Получаем
10. Интегрирование по частям Отметим три вида интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям. 1. , ,
12. Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется отношение двух многочленов где n, m – степени многочленов. Если
15. Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида: Находятся с помощью формул:
16. Интегралы вида Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: 1) Подстановка если целое положительное нечетное число;
17. Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными и над
18. На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной
19. 4. Примеры Методом непосредственного интегрирования найдем следующие интегралы: Решение: Используя свойство 4) ( ) и формулу
20. Методом замены переменной найдем следующие интегралы: Решение: Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Подставив
21. Методом интегрирования по частям найдем следующие интегралы: Решение: Пусть тогда т.е. Используя формулу интегрирования по частям,
22. 1.Интегрированием тригонометрических функций найдем интеграл: Решение: Воспользуемся формулой Получим: Тогда 2. Найдем интеграл: Решение: Применим подстановку
23. 3.Найдем интеграл Решение: Сделаем универсальную подстановку Тогда Следовательно
25. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства
Таблица основных интегралов
Методы интегрирования:
Непосредственное

интегрирование
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
Примеры

Слайд 3

1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства
Функция называется первообразной

для функции в промежутке если в любой точке этого промежутка её производная равна :
Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.
Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределённым интегралом и обозначается символом
Таким образом,
Здесь, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.

Слайд 4

Основные свойства
Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная

постоянная:
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределённого интеграла:
Если и - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

Слайд 5

2. Таблица основных интегралов

Слайд 6

3. Методы интегрирования

Слайд 7

Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь

могут представиться следующие случаи:
данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
данный интеграл после применения свойств 3) и 4) ( 3) , 4) ) приводится к одному или нескольким табличным интегралам
Пример:
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак интеграла и, используя формулу 1, получим:

Слайд 8

Метод замены переменной
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в

преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной t с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через t и dt, имеем
После того как интеграл относительно новой переменной t будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной x.

Слайд 9

Пример:
Вычислить
Обозначим 3x+1=t, откуда .
Получаем

Слайд 10

Интегрирование по частям

Отметим три вида интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по

частям.
1. , , где Pn(x) – многочлен n – й степени от х, k – произвольное число. В этих интегралах нужно обозначить u=Pn(x), а за обозначить все остальные сомножители. Формула интегрирование по частям применяется последовательно n раз. При этом n>0

Слайд 11

Слайд 12

Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов

где n, m – степени многочленов.
Если n < m, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае, при n ≥ m, - неправильной.
Если дробь неправильная, то из нее нужно сначала выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида:
Находятся с помощью формул:

Слайд 16

Интегралы вида
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1) Подстановка если

целое положительное нечетное число;
2) Подстановка если целое положительное нечетное число;
3) Формулы понижения порядка:
Если целые неотрицательные четные числа;
4)Подстановка если есть четное отрицательное целое число.

Слайд 17

Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию

с переменными и над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление).
Принято обозначать знак рациональной функции.
Вычисление неопределённых интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой ,которая называется универсальной.

Действительно,
Поэтому
Где рациональная функция от .Обычно этот способ весьма громоздкий, зато всегда приводит к результату.

Слайд 18

На практике применяют и другие, более простые подстановки,
в зависимости от

свойств ( и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:
1)Если функция нечётна относительно
Т.е , , то подстановка рационализирует интеграл;
2)Если функция нечётна относительно
Т.е. ,то делается подстановка
3)Если функция четна относительно
,то интеграл рационализируется подстановкой .Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Слайд 19

4. Примеры
Методом непосредственного интегрирования найдем следующие интегралы:
Решение:
Используя свойство 4) ( )

и формулу 2 ( ), получим:
Решение:

Слайд 20

Методом замены переменной найдем следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,

откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:
Заменив t его выражением через x, находим:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда . Таким образом,

Слайд 21

Методом интегрирования по частям найдем следующие интегралы:
Решение:
Пусть тогда т.е. Используя формулу

интегрирования по частям, получим:
Решение:
Пусть тогда
Используя формулу интегрирования по частям, получим:

Слайд 22

1.Интегрированием тригонометрических функций найдем интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой
Получим:
Тогда
2. Найдем интеграл:
Решение: Применим

подстановку Т.к.n=5 (1 случай-целое положительное нечетное число)
Тогда
Получим:

Слайд 23

Методы интегрирования

Содержание

СодержаниеПервообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства Таблица основных интеграловМетоды интегрирования:Непосредственное

1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства Функция называется первообразной

Основные свойстваНеопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная

2. Таблица основных интегралов

3. Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь

Метод замены переменной Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в

Пример:Вычислить Обозначим 3x+1=t, откуда .Получаем

Интегрирование по частям Отметим три вида интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида:Находятся с помощью формул:

Интегралы видаДля нахождения таких интегралов используются следующие приемы:1) Подстановка если

Универсальная тригонометрическая подстановкаРассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию

На практике применяют и другие, более простые подстановки,в зависимости от

4. ПримерыМетодом непосредственного интегрирования найдем следующие интегралы:Решение:Используя свойство 4) ( )

Методом замены переменной найдем следующие интегралы:Решение:Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,

Методом интегрирования по частям найдем следующие интегралы:Решение:Пусть тогда т.е. Используя формулу

1.Интегрированием тригонометрических функций найдем интеграл:Решение: Воспользуемся формулой Получим:Тогда2. Найдем интеграл:Решение: Применим

3.Найдем интегралРешение: Сделаем универсальную подстановкуТогда Следовательно

Похожие презентации