Метод множителей Лагранжа

Для решения задачи построим функцию Лагранжа

- называются множителями Лагранжа

Определим частные производные

Приравняем их к нулю. В результате получим систему

Всякое решение системы уравнений определяет точку в которой может иметь место

Решения задачи методом Лагранжа включает следующие этапы:

Составляют функцию Лагранжа.
Находят частные производные

Пример

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий.
Эти

Решение.

Составим математическую модель задачи.

Составим функцию Лагранжа

Вычислим частные производные функции L и приравняем их нулю.

Решая данную систему, получим

В этой точке может быть экстремум целевой

Метод множителей Лагранжа может быть применен и для случая, когда система

Решение такой задачи находится в 2 этапа:

Находят стационарные точки безусловного экстремума целевой

Из всех решений системы выбираем только те точки , которые удовлетворяют

Находят точки условного экстремума целевой функции F при условиях

Для этого

В результате, на 1 и 2 этапе находится множество точек, в

Пример. Найти минимальное и максимальное значение функции

При условиях

Решение

Определим точки безусловного экстремума целевой функции F, лежащие внутри области.
Для

получим

Так как 22+32=13<52 следовательно, точка А(2,3) лежит внутри области.

Строим функцию Лагранжа для случая, когда ограничение имеет вид

Вычислим частные производные функции L по и приравняем их к нулю.

Первое уравнение системы домножим на x2 , второе уравнение x1 .