Координатный метод решения стереометрических задач типа С2 на ЕГЭ

– координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

заданы уравнениями:
Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:
В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8 . На ребре взята точка K так, что . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

В= -1/12, А= -5/(12х13).

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

найдем угол:

Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение.
Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).
Решая систему
составляем уравнение плоскости (АD1E): x+2y-z=0.
2) плоскость CFD1:
отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.
, ,
откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0;0;2), D1 (0;1;5). Решаем систему

Составляем уравнение плоскости (ВЕD1):
-х+1,5у-0,5z+1=0, вектор нормали плоскости
(ВЕD1)

Вектор нормали плоскости (ABC)

Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей

Ответ:

точка К – середина ребра DD1. Найти угол между плоскостями АКВ1 и КМС.

РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат,
поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ1. Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0.
Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В1 (1;0;1)
в уравнение плоскости, получим b+c/2=0, a+c=0.
Таким образом имеем 2х+у - 2z=0.
Составим уравнение плоскости КМС.
Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0),
С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему:

Уравнение плоскости (КМС) принимает вид

и угол между плоскостями АВК1 и КМС находим из

2х – у +4z=1. Итак,

ребра AB = 8 , AD = 6 , CC1 =6 . Найдите угол меду плоскостями CD1 B1 и AD1B1 .
Задача (С2 ЕГЭ 2010). Все ребра пирамиды SABCD с вершиной S равны между собой. Найдите угол между плоскостями SBM и SCD , где точка M - середина ребра CD . Ответ:
Задача. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.
Ответ: 600.
Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями ACB1 и BA1C1.
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна , а боковое ребро равно 10. Найти угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.