Факториальные кольца

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Факториальные кольца

Содержание

2. Цель работы: Изучение классов колец, элементы которых раскладываются в произведение неприводимых элементов, и при этом такое
3. Задачи работы: Изучение литературы по теме Систематизация материала Поиск примеров факториальных колец, которые иллюстрировали бы несовпадение
4. Цепочка включений: евклидовы кольца кольца главных идеалов факториальные кольца
5. Евклидово кольцо – область целостности R, в котором каждому ненулевому элементу а сопоставлено целое неотрицательное число
6. Примеры евклидовых колец Кольцо целых чисел Z Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] Кольцо многочленов P[x]
7. Кольцо главных идеалов – кольцо, в котором каждый идеал главный. Идеал – такое подкольцо I кольца
8. Факториальное кольцо (кольцо с однозначным разложением на множители) – целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент
9. Примеры для доказательства Кольцо многочленов от 2 переменных – факториальное, но не кольцо главных идеалов Кольцо
10. Квадратичное поле
11. Кольцо целых алг. чисел квадратичного поля любой идеал кольца целых алг.чисел – главный ⬄ кольцо целых
12. Квадратичные поля с алгоритмом Евклида Мнимые квадратичные поля: дискриминант -3, -4, -7, -8, -11 Вещественные квадратичные
13. Состояние работы Сделано: Цепочка включений Примеры несовпадения Осталось сделать: Примеры нефакториальных колец Подробное рассмотрение колец целых
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель работы:
Изучение классов колец, элементы которых раскладываются в произведение неприводимых элементов,

и при этом такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент

Слайд 3

Задачи работы:
Изучение литературы по теме
Систематизация материала
Поиск примеров факториальных колец, которые иллюстрировали

бы несовпадение классов колец с однозначным разложением на простые
Поиск примеров колец, не являющихся факториальными
Изложение всего изученного материала целостным текстом в едином ключе

Слайд 4

Цепочка включений:
евклидовы кольца
кольца
главных идеалов
факториальные кольца

Слайд 5

Евклидово кольцо
– область целостности R, в котором каждому ненулевому элементу а

сопоставлено целое неотрицательное число g(a) (т.н.норма) со следующими свойствами:
Для ненулевых элементов а и b справедливо: g(a-b)≥g(a).
(Алгоритм деления.) Для любых двух элементов а, b, где а – ненулевой, существует представление b=q-a+r, в котором r – нулевой элемент или g(r)

Слайд 6

Примеры евклидовых колец
Кольцо целых чисел Z
Кольцо целых гауссовых чисел Z[i]
Кольцо многочленов

P[x]

Слайд 7

Кольцо главных идеалов
– кольцо, в котором каждый идеал главный.
Идеал – такое

подкольцо I кольца А, которое вместе с любым своим элементом i содержит все «правые кратные» i-a и все «левые кратные» а-i для произвольного а из А (двухсторонний идеал).
Идеал называется порождённым множеством М, если идеал I представляет собой пересечение всех идеалов, содержащих М
Главный идеал – идеал, порождённый одним элементом а кольца А. Образующей главного идеала является сам элемент а.

Слайд 8

Факториальное кольцо
(кольцо с однозначным разложением на множители) – целостное кольцо, в

котором каждый ненулевой элемент либо обратим, либо имеет однозначное разложение на неприводимые элементы.

Слайд 9

Примеры для доказательства
Кольцо многочленов от 2 переменных – факториальное, но не

кольцо главных идеалов
Кольцо целых алгебраических чисел квадратичного поля – кольцо главных идеалов, но не во всех случаях - евклидово

Слайд 10

Квадратичное поле

Слайд 11

Кольцо целых алг. чисел квадратичного поля
любой идеал кольца целых алг.чисел –

главный ⬄ кольцо целых алг.чисел факториально
кольцо целых алг.чисел факториально ⬄множество множество классов идеала кольца целых алг.чисел состоит из 1 элемента

Слайд 12

Квадратичные поля с алгоритмом Евклида
Мнимые квадратичные поля: дискриминант -3, -4, -7,

-8, -11
Вещественные квадратичные поля: дискриминант 5, 8, 12, 3

Слайд 13

Состояние работы
Сделано:
Цепочка включений
Примеры несовпадения
Осталось сделать:
Примеры нефакториальных колец
Подробное рассмотрение колец целых алгебраических

чисел в различных квадратичных полях
Примеры колец главных идеалов, которые не евклидовы

Факториальные кольца

Содержание

Цель работы:Изучение классов колец, элементы которых раскладываются в произведение неприводимых элементов,

Задачи работы:Изучение литературы по темеСистематизация материалаПоиск примеров факториальных колец, которые иллюстрировали

Цепочка включений:евклидовы кольца кольца главных идеалов факториальные кольца

Евклидово кольцо– область целостности R, в котором каждому ненулевому элементу а

Примеры евклидовых колецКольцо целых чисел ZКольцо целых гауссовых чисел Z[i]Кольцо многочленов

Кольцо главных идеалов– кольцо, в котором каждый идеал главный.Идеал – такое

Факториальное кольцо(кольцо с однозначным разложением на множители) – целостное кольцо, в

Примеры для доказательстваКольцо многочленов от 2 переменных – факториальное, но не