Аппроксимирующий полином Ньютона

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Аппроксимирующий полином Ньютона

Содержание

2. Задача. Придать интерполяционной формуле более простой вид. Слагаемые должны располагаться в порядке убывания их значимости.
3. Элементы теории разделённых разностей. 1) Схема Эйткена 2) Формулы численного дифференцирования разностные методы Задана табличная функция:
4. разделённые разности первого порядка разделённые разности второго порядка
5. разделённая разность k-го порядка Полезные свойства разделённых разностей 1) Разделённая разность k-го порядка равна:
6. 2) Разделённая разность суммы или разности функций равна сумме или разности разделённых разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого
7. Вывод: Разделённые разности n-го порядка многочлена n-й степени постоянны. (Все последующие равны нулю) Свойство 5 применяют
8. Построим таблицу разделённых разностей
9. Строим полином Ньютона Задана табличная функция: При построении полинома Ньютона в качестве базисных функций возьмем следующие:
10. График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е. Из этих условий найдём коэффициенты:
11. − разделённая разность 0-го порядка − разделённая разность 1-го порядка − разделённая разность 2-го порядка
12. Для равноотстоящих узлов: − разделённая разность 1-го порядка − разделённая разность 2-го порядка
13. Общая формула для коэффициента многочлена Ньютона имеет вид: Окончательный вид многочлена Ньютона: Этой формулой пользуются для
14. Второй интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад. 4) Разделённая разность есть симметрическая функция своих аргументов, т.е.
15. Погрешность многочлена Ньютона. где при
16. Пример. Вычислить в точках x = 0,1 и x = 4,5 значения функции, заданной таблично.
17. При воспользуемся первой формулой Ньютона. При воспользуемся второй формулой Ньютона.
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Задача. Придать интерполяционной формуле более простой вид. Слагаемые должны располагаться в

порядке убывания их значимости.

Слайд 3

Элементы теории разделённых разностей.
1) Схема Эйткена
2) Формулы численного дифференцирования
разностные методы
Задана табличная

функция:

Слайд 4

разделённые разности первого порядка
разделённые разности второго порядка

Слайд 5

разделённая разность k-го порядка
Полезные свойства разделённых разностей
1) Разделённая разность k-го порядка

равна:

Слайд 6

2) Разделённая разность суммы или разности функций равна сумме или разности

разделённых разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак разделённой разности.

4) Разделённая разность есть симметрическая функция своих аргументов, т.е.

5) Разделённая разность многочлена понижает на единицу его степень.

Слайд 7

Вывод:
Разделённые разности n-го порядка многочлена n-й степени постоянны. (Все последующие

равны нулю)
Свойство 5 применяют для определения предпочтительной степени многочлена, подходящего для интерполирования данной функции. Или используют для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним.

Слайд 8

Построим таблицу разделённых разностей

Слайд 9

Строим полином Ньютона
Задана табличная функция:
При построении полинома Ньютона в качестве базисных

функций возьмем следующие:

Многочлен ищем в виде:

Слайд 10

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е.
Из этих условий

найдём коэффициенты:

Слайд 11

− разделённая разность 0-го порядка
− разделённая разность 1-го порядка
− разделённая разность

2-го порядка

Слайд 12

Для равноотстоящих узлов:
− разделённая разность 1-го порядка
− разделённая разность 2-го порядка

Слайд 13

Общая формула для коэффициента многочлена Ньютона имеет вид:
Окончательный вид многочлена Ньютона:
Этой

формулой пользуются для вычисления значений функции в узлах левой(верхней) части таблицы.

Первый интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперёд.

Слайд 14

Второй интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад.
4) Разделённая разность есть симметрическая

функция своих аргументов, т.е.

Если 0 ↔ n, 1 ↔ n − 1, 2 ↔ n − 2 и т.д., тогда

Слайд 15

Погрешность многочлена Ньютона.
где
при

Слайд 16

Пример. Вычислить в точках x = 0,1 и x = 4,5

значения функции, заданной таблично.

Слайд 17

При
воспользуемся первой формулой Ньютона.
При
воспользуемся второй формулой Ньютона.