3 Преобразование случайных величин

Июль 31, 2022

Главная
Математика
3 Преобразование случайных величин

Содержание

2. Процесс нахождения значения случайной величины ξ путем преобразования стандартной случайной величины (БСВ) называют разыгрыванием или моделированием
3. Метод обратного преобразования (обратной функции) Пусть необходимо получать значения случайной величины ξ, являющейся непрерывной и имеющей
4. Использование функции плотности вероятности нужно получать значения случайной величины ξ, распределенной в интервале (a, b) с
5. Дискретная случайная величина
6. Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951) Разыгрывать ξ можно следующим способом: H(t1,t2) с координатами: t1 = a+γ1(b-a);
7. Метод ступенчатой аппроксимации f(x) вероятность попадания х в один из интервалов f(x) [a0, a1], [a1, a2],
8. Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на интервале [0, 90°]. Составить алгоритм
9. Упрощенный метод ступенчатой аппроксимации Дискретизируем непрерывный закон распределения вероятности события. γ Недостаток упрощенного метода: огрубление постановки
10. Метод суперпозиции Функция распределения F может быть выражена как комбинация других функций F1, F2,… , и
11. Метод сверток Пример: нормальное (Гауссово) распределение Центральная предельная теорема Пусть СВ x подчинены одному и тому
12. Табличный метод Таблица: функция распределения F(х) и соответствующее ему значение x случайной величины. Значение случайного числа,
13. Метод композиций Метод композиций основан на функциональных особенностях вероятностных распределений, таких как распределение Эрланга, гипоэкспоненциальное и
14. Моделирование событий Моделирования события А с вероятностью Р(А): γ≤P(A). Моделирование полной группы случайных событий Пусть независимые
15. Моделирование событий Моделирование появления зависимых событий Пусть заданы вероятности Р(А) и Р(В) зависимых событий А и
16. Моделирование событий 2. Генерируется одна случайная величина γ и проверяется, в какой из интервалов она попадает.
17. Моделирование случайных векторов х1, х2, … хn; f(x1, x2,…xn); f(x1, x2,…xn) = f1(x1) f2(x2)… fn(хn) Значение
18. Моделирование случайных векторов Пример: пусть случайный вектор W имеет две координаты х1 и х2, являющиеся СВ:
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Процесс нахождения значения случайной величины ξ путем преобразования стандартной случайной

величины (БСВ) называют разыгрыванием или моделированием случайной величины ξ.

Слайд 3

Метод обратного преобразования (обратной функции)
Пусть необходимо получать значения случайной

величины ξ, являющейся непрерывной и имеющей функцию распределения 0 строго возрастающую.
F-1 – обратная функция F.
Алгоритм генерирования СВ с функцией распределения F:
1) генерируем γ;
2) возвращаем ξ= F-1(γ).

Слайд 4

Использование функции плотности вероятности
нужно получать значения случайной величины ξ, распределенной

в интервале (a, b) с плотностью f(х)>0.
Достоинство:
точность метода.
Недостатки:
ограничение на вид функции распределения или функции плотности;
затраты машинного времени.

Слайд 5

Дискретная случайная величина

Слайд 6

Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951)
Разыгрывать ξ можно следующим способом:

H(t1,t2) с координатами: t1 = a+γ1(b-a); t2 = γ2M0;
если H(t1,t2) лежит под кривой f(x), то полагаем ξ=t1, иначе – пару (γ1, γ2) отбрасываем и выбираем новую пару значений БСВ.

Слайд 7

Метод ступенчатой аппроксимации
f(x)
вероятность попадания х в один из интервалов f(x) [a0,

a1], [a1, a2], …, [an-1, an] равна 1/n.
Тогда ξ = ai + c; где ai – левая граница интервала;
с – равномерно распределенная случайная величина на интервале
[0, ai+1 – ai].

Алгоритм моделирования:
γ1 и γ2;
i=[n⋅γ1];
сi = γ2⋅ (ai+1 – ai);
ξ = ai + c.

Слайд 8

Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на

интервале [0, 90°]. Составить алгоритм моделирования случайной величины методом ступенчатой аппроксимации для трех интервалов разбиения.

Так как 3 интервала разбиения, то вероятность равна 1/3.
а0=0; а3=90°; а1 находим из выражения

отсюда a1=arcos2/3= 0°.
а2 находим аналогично

a2=arcos 1/3 = 70°.
Далее применяем алгоритм моделирования.

Слайд 9

Упрощенный метод ступенчатой аппроксимации
Дискретизируем непрерывный закон распределения вероятности события.
γ
Недостаток упрощенного метода:

огрубление постановки задачи.

Слайд 10

Метод суперпозиции
Функция распределения F может быть выражена как комбинация
других функций

F1, F2,…

, и соответственно

Общий алгоритм метода суперпозиции примет следующий вид:
генерируем положительное целое число i=1, 2, …
возвращаем ξ с функцией распределения .

Шаг 1 можно рассматривать как выбор функции распределения Fi с вероятностью pi.

Слайд 11

Метод сверток
Пример: нормальное (Гауссово) распределение
Центральная предельная теорема Пусть СВ

x подчинены одному и тому же закону распределения, с одним и тем же математическим ожиданием Mx и дисперсией Dx=σx2. Тогда сумма n этих СВ будет подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием M=n∙Mx и дисперсией D=n∙σx2.
Пусть надо получить нормально распределенный ряд чисел X с заданным математическим ожиданием Mx и стандартным отклонением σx:

при n=12

Слайд 12

Табличный метод
Таблица: функция распределения F(х) и соответствующее ему значение x случайной

величины.
Значение случайного числа, находящегося между узлами табуляции, обычно рассчитывается методом линейной интерполяции.

Представленные в таблице значения соответствуют экспоненциальному распределению с математическим ожиданием, равным единице.

Слайд 13

Метод композиций
Метод композиций основан на функциональных особенностях вероятностных распределений, таких

как распределение Эрланга, гипоэкспоненциальное и гиперэкспоненциальное распределения.
Метод используется, как правило, в тех случаях, когда не удаётся получить аналитическим методом решение в явном виде.
Например, значения случайных величин, распределённых по закону Эрланга и гипоэкспоненциальному закону могут быть получены путём сложения нескольких экспоненциально распределённых случайных величин, а значения случайных величин, распределённых по гиперэкспоненциальному закону – путём вероятностного формирования смеси из нескольких экспоненциально распределённых случайных величин с разными математическими ожиданиями.

Слайд 14

Моделирование событий
Моделирования события А с вероятностью Р(А):
γ≤P(A).
Моделирование полной группы

случайных событий

Пусть независимые события А и В могут появляться одновременно и имеют вероятности Р(А) и Р(В) соответственно. Возможные исходы:

АВ,

Моделирование таких испытаний может быть осуществлено 2 способами.

1. γ1 и γ2 и проверка: γ1≤P(A) и γ2≤Р(В).

2. Моделированию события с четырьмя возможными исходами с вероятностями (*). Интервал [0,1] разбивается на четыре части в соответствии с выписанными вероятностями, генерируется одна случайная величина γ и проверяется, в какой из полученных интервалов она попадет.

(*)

Слайд 15

Моделирование событий
Моделирование появления зависимых событий
Пусть заданы вероятности Р(А) и Р(В) зависимых

событий А и В и условная вероятность Р(В|А). Возможны два подхода:

1. Генерируется СВ γ1 и проверяется выполнение неравенства γ1<=P(A). Вырабатывается СВ γ2 и проверяется неравенство γ2<=P(В|А). Проверка этих неравенств дает нам исходы АВ и А .

Если оказалось что γ1>P(A), то событие А не произошло и для моделирования события В нам нужна условная вероятность P(B| ).
Формула полной вероятности (Формула Бейеса):

Слайд 16

Моделирование событий
2. Генерируется одна случайная величина γ и проверяется, в какой

из интервалов она попадает. Интервалы определяются в соответствии с вероятностями:

Слайд 17

Моделирование случайных векторов
х1, х2, … хn;
f(x1, x2,…xn);
f(x1, x2,…xn) =

f1(x1) f2(x2)… fn(хn)

Значение каждой координаты с плотностью распределения fi(хi) определяется независимо друг от друга по любой из методик моделирования значений СВ.

1. Независимые координаты вектора

2. Зависимые координаты вектора

Тогда f(x1, x2,…xn) = f1(x1) f2(x2|x1) f3(x3|x1x2)…, где fi есть условная плотность распределения данной случайной величины xi при условии, что другие случайные координаты приняли определенные значения.

Алгоритм моделирования значения случайного вектора с зависимыми координатами предусматривает: получение значения x1, полученное значение берется в качестве параметра в условной плотности f2(x2|x1), после чего определяется значение случайной координаты x2 и полученные значения х1 и х2 берутся в качестве параметров в условной плотности f3(x3|x1x2) и т.д.

Слайд 18

Моделирование случайных векторов
Пример: пусть случайный вектор W имеет две координаты х1

и х2, являющиеся СВ: f1(x1) = 2x1; 0

Координата х2 распределена равномерно на участке длиной 2 с центром в точке х1, т.е.

Решение:

3 Преобразование случайных величин

Содержание

Процесс нахождения значения случайной величины ξ путем преобразования стандартной случайной

Метод обратного преобразования (обратной функции) Пусть необходимо получать значения случайной

Использование функции плотности вероятности нужно получать значения случайной величины ξ, распределенной

Дискретная случайная величина

Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951) Разыгрывать ξ можно следующим способом:

Метод ступенчатой аппроксимацииf(x)вероятность попадания х в один из интервалов f(x) [a0,

Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на

Упрощенный метод ступенчатой аппроксимацииДискретизируем непрерывный закон распределения вероятности события.γНедостаток упрощенного метода:

Метод суперпозицииФункция распределения F может быть выражена как комбинация других функций

Метод сверток Пример: нормальное (Гауссово) распределение Центральная предельная теорема Пусть СВ

Табличный методТаблица: функция распределения F(х) и соответствующее ему значение x случайной

Метод композиций Метод композиций основан на функциональных особенностях вероятностных распределений, таких

Моделирование событийМоделирования события А с вероятностью Р(А): γ≤P(A). Моделирование полной группы

Моделирование событийМоделирование появления зависимых событийПусть заданы вероятности Р(А) и Р(В) зависимых

Моделирование событий2. Генерируется одна случайная величина γ и проверяется, в какой

Моделирование случайных векторовх1, х2, … хn; f(x1, x2,…xn); f(x1, x2,…xn) =

Моделирование случайных векторовПример: пусть случайный вектор W имеет две координаты х1

Похожие презентации