Квантовая теория. Свойства операторов и принцип неопределенности Гейзенберга

Лекция IV
Свойства операторов и принцип неопределенности Гейзенберга

Свойства операторов, изображающих динамические переменные

Какие операторы допустимы для изображения переменных?

I.1 Линейность операторов.

I. Свойства операторов

Любая динамическая переменная
изображается линейным
оператором

I. Свойства операторов

Вещественная динамическая переменная классической механики в квантовой механике изображается

I.2 Самосопряженность операторов

Поскольку все значения q – вещественные q=q*, то ядро

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов

II.1 Вещественность собственных
значений

Собственные значения эрмитовых

II.1 Вещественность собственных
значений

6

Собственные функции эрмитовых операторов ортогональны:

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов

II.2 Ортогональность

7

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов

II.2 Ортогональность

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов

II.3 Собственные функции
самосопряженных операторов –

Принцип неопределенности

Когда измерения совместны?

III. Принцип неопределенности

Пусть эрмитовы операторы
связаны соотношением:

Тогда имеет место следующее соотношение:

9

10

III. Принцип неопределенности

11

III. Принцип неопределенности

12

III. Принцип неопределенности

Поскольку:

то:

13

14

III. Принцип неопределенности

Пример
Операторы координаты и импульса

15

Пример
Операторы координаты и импульса

III. Принцип неопределенности

17

16

Свойства коммутирующих операторов

Что означает коммутативность?

Теорема 1.
Два произвольных эрмитовых оператора A и B обладают полным набором

Теорема I. Доказательство

Прямое утверждение. Пусть операторы
Обладают полным набором общих собственных

Поскольку это соотношение
выполняется для всех функций базиса ψk, то отсюда следует,

Теорема I. Доказательство

Тогда пусть Ψk - собственные функции оператора A:

Обратное утверждение.

Теорема I. Доказательство

Тогда функция Φk =BΨk удовлетворяет уравнению:

Имеем:

Теорема I. Доказательство

Отсюда:

Следовательно :

Следовательно собственные функции оператора A являются собственными функциями

Теорема 2.
Два произвольных эрмитовых оператора A и B обладают хотя бы

Теорема II. Доказательство

Прямое утверждение. Пусть операторы
обладают одной общей собственной функцией

Поскольку любой оператор вида

Теорема II. Доказательство

действует так, что

То всегда найдется оператор

Теорема II. Доказательство

Тогда пусть Ψ0 - собственная функция оператора B:

Обратное утверждение.

Теорема II. Доказательство

Следовательно функция Φ0 =AΨ0 удовлетворяет уравнению:

Из (20) имеем:

а из

Теорема II. Доказательство

Отсюда:

Следовательно :

Следовательно собственная функция Ψ0 оператора B является собственной

Теорема II. Следствие

Из (20) имеем:

Пусть

Тогда:

Тогда функции Φk =BΨk являются собственными функциями оператора A1:

Теорема II. Следствие

22

23

Пример

Метод Дарбу

Рассмотрим следующие операторы:

Пример.

24

Вычислим коммутатор:

Пример.

25

При каких условиях коммутатор равен

Пример.

25

Пример.

если хотя бы одна собственная функция оператора A является собственной

Пример.

26

27

Найдем собственные функции оператора A

Пример.

28

Пример.

29

Отсюда находим:

Или:

30

Пример.

30

Результат: если

Операторы A и B имеют одну общую собственную функцию

Пример.

Вычислим оператор D.
Будем искать его в виде оператора умножения на

Пример.

Тогда

32

Отсюда

Пример.

I

Отсюда следует:

II

33

34

35

Пример.

Окончательно:

36

Пример.

37

Пример.

Являются функции:

38

Пример.

Окончательно, функции

Являются собственными функциями A1

39

40

Следующая лекция

Стационарное уравнение Шредингера