Алгоритм отсечения Лианга—Барского

параметрического представления для двух-, трех-и четырехмерного отсечения.
В частности, внутренняя часть окна отсечения может быть выражена
с помощью следующих неравенств:
xлeв ⩽ x ⩽ xпpaв;
yвepx ⩽ y ⩽ yниз. (3.1)
Продолжим каждую из четырех границ окна до бесконечных прямых.
Каждая из таких прямых делит плоскость на две области. Назовем «видимой частью» ту, в которой находится окно отсечения.
Видимой части соответствует внутренняя сторона линии границы.
Невидимой части плоскости соответствует внешняя сторона линии границы.
Таким образом, окно отсечения может быть определено как
область, которая находится на внутренней стороне всех линий границ.

образом.
Пусть конечные точки отрезка есть V0 и V1 с координатами (x0, y0) и (x1, y1) соответственно
Тогда параметрическое представление линии может быть задано следующим
образом:
x = x0 + dx ⋅ t; y = y0 + dy ⋅ t. (3.2)
dx = x1 − x0; dy = y1 − y0.
Или в общем виде для отрезка, заданного точками V0 и V1:
V(t) = V0 + (V1 − V0) ⋅ t. (3.3)
Для точек V0 и V1 параметр t равен 0 и 1 соответственно.
Меняя t от 0 до 1, перемещаемся по отрезку V0V1 от точки V0 к точке V1.
Изменяя t в интервале [−1, 1], получаем бесконечную прямую, ориентация которой — от точки V0 к точке V1.

получим следующие соотношения для частей удлиненной ли-
нии, которая находится в окне отсечения:
−dx ⋅ t ⩽ x0 − xлeв; dx ⋅ t ⩽ xпpaв − x0;
−dy ⋅ t ⩽ y0 − yниз; dy ⋅ t ⩽ yвepx − y0. (3.4)
Заметим, что соотношения (3.4) — неравенства, описывающие внутреннюю часть
окна отсечения, в то время как равенства определяют его границы.
Рассматривая неравенства (3.4), видим, что они имеют одинаковую форму вида:
Pi ⋅ t ⩽ Qi, (3.5)
где i = 1, 2, 3, 4.
Здесь использованы следующие обозначения:
P1 = −dx; Q1 = x0 − xлeв; P3 = −dy; Q3 = y0 − yниз;
P2 = dx; Q2 = xпpaв − x0; P4 = dy; Q4 = yвepx − y0. (3.6)

из неравенств (3.5) соответствует одной из граничных линий (левой, правой, нижней и верхней соответственно) и описывает ее видимую сторону. Удлиним V0V1 в бесконечную прямую.
Тогда каждое неравенство задает диапазон значений параметра t, для которых эта удлиненная линия находится на видимой стороне соответствующей линии границы.
Более того, конкретное значение параметра t для точки пересечения есть t = Qi/Pi.
Причем знак Qi показывает, на какой стороне соответствующей линии границы находится точка V0. А именно, если Qi > 0, тогда
V0 находится на видимой стороне линии границы, включая и ее. Если же Qi < 0, тогда V0 находится на невидимой стороне.

0, тогда соответствующее неравенство становится:
t ⩾Qi/Pi. (3.7)
Очевидно, что диапазон значений параметра t, для которых удлиненная
линия находится на видимой стороне соответствующей граничной линии,
имеет минимум в точке пересечения направленной удлиненной линии, заданной вектором V0V1, и идущей с невидимой на видимую сторону граничной линии.
Pi > 0, тогда соответствующее неравенство становится:
t ⩽ Qi/Pi. (3.8)
Так как значения параметра t только на границе равны Qi/Pi, а в остальной видимой части меньше Qi/Pi, то значение параметра t имеет максимум на границе.
• Pi = 0, тогда соответствующее неравенство превращается в
0 ⩽ Qi.

линии, определяемой точками V0V1, с линиями границы.
Более того, если Qi < 0, то удлиненная линия находится на внешней стороне линии границы, а при Qi ⩾ 0 находится на внутренней стороне (включая ее).
В последнем случае отрезок V0V1 может быть видим или нет, в зависимости от того, где находятся точки V0V1 на удлиненной линии.
В предыдущем же случае нет видимого сегмента, так как удлиненная линия вне окна, т. е. это случай тривиального отбрасывания.
Итак, рассмотрение неравенств дает диапазон значений параметра t, для которого удлиненная линия находится внутри окна отсечения.